Задача 1. Три числа и среднее арифметическое

Среднее — это среднее по величине число

Выбираем три различных числа и упорядочиваем их: $a < b < c$. Среднее арифметическое двух различных чисел лежит строго между ними. Поэтому средним арифметическим двух других может быть только $b$, и условие задачи означает

Тройку задают крайние числа

Возьмём любые два числа $a < c$ из $1, \ldots, 100$. Если $a$ и $c$ одной чётности, то $b = \frac{a + c}{2}$ — целое, и $a < b < c$, так что получается подходящая тройка. Если чётность разная, $\frac{a + c}{2}$ не целое, и тройки с такими крайними числами нет.

Разные пары $\{a, c\}$ дают разные тройки, и каждая подходящая тройка получается из своей пары крайних чисел. Значит, способов столько же, сколько пар различных чисел одной чётности.

Подсчёт пар

От $1$ до $100$ ровно $50$ нечётных и $50$ чётных чисел. Пар различных нечётных чисел $\dfrac{50 \cdot 49}{2} = 1225$, чётных — тоже $1225$. Всего

Если числа могут повторяться

Слова «выбрать три числа» естественно понимать как выбор трёх различных чисел. Если же разрешить повторения, к найденным тройкам добавятся только тройки $(k;\,k;\,k)$: если $x = \frac{x + y}{2}$, то $y = x$. Их $100$, и получилось бы $2550$. Организатор принимает оба ответа; основной в разборе — $2450$.