Физтех 2024/25 · Математика · 10 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ имеют радиусы $5$ и $8$ а расстояние между их центрами больше $13$ Оказалось, что их общие внутренние касательные перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, ограниченного одной общей внешней и двумя общими внутренними касательными к этим окружностям.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Какой угол образуют касательные с радиусами в точках касания? Что получится вокруг точки пересечения внутренних касательных? Чем являются окружности для нужного треугольника? В модели меняй расстояние между центрами и проверяй догадку о площади. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДве окружности и касательные

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Две окружности и касательные

Какова площадь треугольника, когда внутренние касательные перпендикулярны?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй окружности радиусов 5 и 8 с центрами на расстоянии 18,4 (это 13√2), проведи внутренние касательные под прямым углом и верхнюю внешнюю. Измерь катеты треугольника.

Подсказка 1

Пусть внутренние касательные пересекаются в точке $H$ Два радиуса $\omega_2$ в точки касания и два отрезка касательных из $H$ образуют четырёхугольник с тремя прямыми углами и равными соседними сторонами — квадрат. Значит, отрезки касательных из $H$ к $\omega_2$ равны $8$ к $\omega_1$ — равны $5$

Подсказка 2

Треугольник прямоугольный (прямой угол при $H$ ). Каждая окружность касается одного катета и продолжений двух других сторон — она вневписанная. Для катетов $x, y$ и полупериметра $p$ отрезок касательной из $H$ к такой окружности равен $p - x$ или $p - y$ Сравни $(p - x)(p - y)$ с площадью $\frac{xy}{2}$

Разобрать решение по шагам

Квадраты при точке пересечения

Окружности лежат по разные стороны от каждой внутренней касательной, поэтому внутренние касательные пересекаются в точке $H$ между окружностями. Радиус $O_2$ в точку касания перпендикулярен касательной. Четырёхугольник « $H$ — точка касания — $O_2$ — другая точка касания» имеет прямые углы при точках касания и при $H$ (касательные перпендикулярны), а отрезки касательных из $H$ равны. Это квадрат со стороной $r_2 = 8$ отрезки касательных из $H$ к $\omega_2$ равны $8$ Так же отрезки касательных из $H$ к $\omega_1$ равны $5$

(Отсюда и расстояние между центрами: $O_1H + HO_2 = 5\sqrt2 + 8\sqrt2 = 13\sqrt2 > 13$ — такая картинка существует.)

r₁ = 5, r₂ = 8, d = 13√2: квадрат при H со стороной 8, треугольник AHC с прямым углом при H, его площадь 40.

Окружности — вневписанные

Пусть внешняя касательная пересекает внутренние в точках $A$ и $C$ Треугольник $AHC$ прямоугольный с прямым углом при $H$ катеты $HA = x$ $HC = y$ гипотенуза $AC = c$ полупериметр $p$

Каждая окружность касается всех трёх прямых и лежит вне треугольника, касаясь одного катета и продолжений двух других сторон, — это вневписанная окружность. Пусть $\omega_2$ касается катета $HC$ Отрезки касательных из вершины $A$ к $\omega_2$ равны $p$ (сумма отрезков касательных из $A$ складывается из $AH$ $AC$ и двух частей катета $HC$ то есть равна периметру). Поэтому отрезок касательной из $H$ равен $p - x$ и по шагу 1 $r_2 = p - x$ Так же $r_1 = p - y$

Площадь равна r₁·r₂

(p - x)(p - y) = \frac{c + y - x}{2} \cdot \frac{c + x - y}{2} = \frac{c^2 - (x - y)^2}{4} = \frac{2xy}{4} = \frac{xy}{2},

так как $c^2 = x^2 + y^2$ Но $\frac{xy}{2}$ — площадь прямоугольного треугольника. Значит,

S = r_1 \cdot r_2 = 5 \cdot 8 = 40.

Для второй внешней касательной треугольник симметричен первому относительно $O_1O_2$ площадь та же.

Проверка

Числа для проверки: из $r_2 - r_1 = (p - x) - (p - y) = y - x$ получаем $y - x = 3$ а гипотенуза $c = 2p - x - y = r_1 + r_2 = 13$ . Тогда $(x + y)^2 = c^2 + 2xy = 169 + 4S$ , и при $S = 40$ $x + y = \sqrt{329}$ $x \approx 7{,}569$ $y \approx 10{,}569$ $x^2 + y^2 \approx 169{,}0$ ✓, $\frac{xy}{2} = \frac{329 - 9}{8} = 40$ ✓. Модель строит окружности на расстоянии $13\sqrt2$ все четыре касательные и треугольник; тест проверяет касание, прямой угол, площадь и то, что при другом расстоянии площадь другая. Другие официальные версии: $9 \cdot 7 = 63$ $15 \cdot 4 = 60$ $10 \cdot 20 = 200$

Ответ

$40$

Ответ

$40$

Главная идея

Перпендикулярные касательные дают квадраты: отрезки касательных из H равны радиусам; окружности — вневписанные для прямоугольного треугольника, и (p − x)(p − y) = xy/2.

Общие касательные двух окружностей и треугольник между ними — вневписанные окружности и отрезки касательных.

Где легко ошибиться

Считать окружности вписанными; искать расстояние между центрами и стороны треугольника «в лоб»; перепутать внешнюю и внутреннюю касательные.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 8, версия с ID 3854 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3857, 3856, 3855) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 7) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М10 2 попытка», стр. 8 ↗: ID 3854: 40; ID 3857: 63; ID 3856: 60; ID 3855: 200.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Окружности и касательные →

Тема, знания и приёмы

Окружности и касательные · Начальный вход

Касательная перпендикулярна радиусу
Отрезки касательных из одной точки
Вневписанная окружность

Приёмы решения: Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →