Физтех 2024/25 · Математика · 10 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

Антон выписал на доску числа $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{2025}$ такие, что не все они равны между собой. Внимательно изучив числа на доске, Константин заметил следующую закономерность: для любого натурального значения $k \in [2;\,2024]$ число $A_{k+1} - A_k$ вдвое меньше, чем $A_{k+1} - A_{k-1}$ Каково наименьшее возможное значение отношения $\dfrac{A_{100} - A_{98}}{A_{2023} - A_{2013}}$ ?

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Перепиши правило через разности соседних чисел. Что тогда можно сказать о числах на доске? В модели выбери $A_1$ и $A_2$ — остальные числа модель допишет по правилу. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЧисла Антона

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Числа Антона

Как устроены числа, удовлетворяющие правилу?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми A₁ = 3, A₂ = 5 и найди A₃ из правила при k = 2, затем A₄. Какая закономерность?

Подсказка 1

Обозначь $d_k = A_{k+1} - A_k$ Тогда $A_{k+1} - A_{k-1} = d_k + d_{k-1}$ . Что означает « $d_k$ вдвое меньше, чем $d_k + d_{k-1}$ »?

Подсказка 2

Все разности соседних чисел равны одному числу $d$ числа на доске — арифметическая прогрессия, и $d \ne 0$ Вырази $A_{100} - A_{98}$ и $A_{2023} - A_{2013}$ через $d$

Разобрать решение по шагам

Правило через разности соседних чисел

Обозначим $d_k = A_{k+1} - A_k$ — разность соседних чисел. Разность чисел через одно складывается из двух соседних разностей:

A_{k+1} - A_{k-1} = d_k + d_{k-1}.

Правило Константина говорит:

2d_k = d_k + d_{k-1}, \quad\text{то есть}\quad d_k = d_{k-1} \qquad (k = 2, \ldots, 2024).

Числа образуют арифметическую прогрессию

Значит, $d_1 = d_2 = \ldots = d_{2024}$ — обозначим это число $d$ Тогда $A_k = A_1 + (k - 1)d$ числа на доске — арифметическая прогрессия. Так как не все числа равны, $d \ne 0$ И наоборот, любая такая прогрессия правилу удовлетворяет.

Отношение

$A_{100} - A_{98} = 2d$ $A_{2023} - A_{2013} = 10d$ , поэтому

\frac{A_{100} - A_{98}}{A_{2023} - A_{2013}} = \frac{2d}{10d} = \frac{1}{5} = 0{,}2.

Отношение одно и то же для всех подходящих наборов чисел — других значений нет. Значит, и наименьшее возможное значение равно $0{,}2$

Проверка

Например, $A_k = k$ $\frac{100 - 98}{2023 - 2013} = 0{,}2$ ; для $A_k = 7 - 3k$ получается $\frac{-6}{-30} = 0{,}2$ Тест модели строит последовательности по правилу из разных $A_1 \ne A_2$ проверяет правило для всех $k$ и получает то же отношение. Другие официальные версии: $\frac{A_{200} - A_{197}}{A_{2022} - A_{2012}} = \frac{3}{10} = 0{,}3$ ; $\frac{A_{300} - A_{296}}{A_{2021} - A_{2011}} = \frac{4}{10} = 0{,}4$ ; $\frac{A_{400} - A_{395}}{A_{2020} - A_{2010}} = \frac{5}{10} = 0{,}5$ .

Ответ

$0{,}2$

Ответ

$0{,}2$

Главная идея

Правило означает равенство соседних разностей — числа образуют арифметическую прогрессию, и отношение разностей равно отношению разностей индексов.

Условие на разности через одну — переход к разностям соседних членов.

Где легко ошибиться

Решить, что разности убывают вдвое (геометрическая прогрессия разностей); искать «наименьшее» среди разных значений, когда значение одно; ответить 1/5 как 5.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 6, версия с ID 3846 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3849, 3848, 3847) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М10 2 попытка», стр. 6 ↗: ID 3846: 0,2; ID 3849: 0,3; ID 3848: 0,4; ID 3847: 0,5.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Последовательности и суммы →

Тема, знания и приёмы

Последовательности и суммы · Нужна школьная база

Арифметическая прогрессия
Разность членов прогрессии

Приёмы решения: Переход от шага к следующему · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →