Задача 3. Замена цифр числа

Какую цифру заменить

Любое восьмизначное число, начинающееся с $1$, меньше любого, начинающегося с $2$. Число, начинающееся с $1$, получить можно — например, $13\,450\,032$ (см. ниже). Значит, «ещё какая-то» цифра — первая, и она становится $1$ (ноль поставить нельзя: число должно остаться восьмизначным).

Больше цифр менять нельзя, поэтому число имеет вид $1345\,\ast\ast\ast\ast$, где звёздочки — новые последние цифры.

Делимость на 48

$48 = 16 \cdot 3$, и $16$ и $3$ взаимно просты. Так как $10\,000 = 16 \cdot 625$, число делится на $16$ ровно тогда, когда на $16$ делится число из его последних четырёх цифр. Делимость на $3$ — по сумме цифр: $1 + 3 + 4 + 5 = 13$ плюс сумма последних четырёх цифр.

Перебор по возрастанию

Последние четыре цифры — число $\overline{abcd}$, кратное $16$, по возрастанию:

Ещё нужно, чтобы каждая из последних цифр действительно изменилась: в $6789 \to 0032$ все четыре цифры другие. Получаем $13\,450\,032 = 48 \cdot 280\,209$.