Задача 2.3. Заборы дачного посёлка

Сколько участков каждого вида

Пусть участков по $5$ соток $a$, а по $3$ сотки $b$. Вместе они занимают весь посёлок: $5a+3b=64$.

Переберём $a$ от $0$ до $12$ (при $a=13$ уже $5\cdot13=65>64$) и проверим, делится ли $64-5a$ на $3$. Подходят только четыре пары:

По условию пятисоточных участков меньше, значит, остаются $a=2,\ b=18$ и $a=5,\ b=13$.

Длина заборов через периметры

Сложим периметры всех участков. Каждый забор между двумя участками — сторона обоих, поэтому в сумму он войдёт дважды. А граница посёлка — сторона только одного участка, она войдёт один раз.

Значит, сумма периметров $=$ $2\cdot$(заборы) $+$ граница посёлка, то есть

заборы $=$ (сумма периметров $-$ граница посёлка) $:2$.

Периметр пятисоточного участка — $10$ сторон клетки, то есть $100$ м; трёхсоточного — $8$ сторон, $80$ м. Граница посёлка $4\cdot80=320$ м. Важно: длина заборов зависит только от того, сколько участков каждого вида, а не от того, как они расположены.

Считаем оба случая

При $a=2,\ b=18$: $(2\cdot100+18\cdot80-320):2=(200+1440-320):2=660$ м.

При $a=5,\ b=13$: $(5\cdot100+13\cdot80-320):2=(500+1040-320):2=610$ м.

Других ответов нет: других пар $a$ и $b$ не бывает, а для каждой пары длина заборов одна.

Примеры планов

Осталось показать, что оба случая возможны. Удобно собирать посёлок из двух «кирпичиков»: прямоугольник $2\times4$ складывается из участков в $5$ и $3$ сотки, а прямоугольник $2\times3$ — из двух участков по $3$ сотки.

• $a=2,\ b=18$: два кирпичика $2\times4$ занимают две верхние строки, оставшийся прямоугольник $8\times6$ — восемь кирпичиков $2\times3$. Участков по $3$ сотки: $2+8\cdot2=18$.
• $a=5,\ b=13$: две верхние полосы $2\times8$ — по два кирпичика $2\times4$; в нижнем прямоугольнике $4\times8$ — ещё один кирпичик $2\times4$, поставленный стоймя, и четыре кирпичика $2\times3$. Участков по $3$ сотки: $5+4\cdot2=13$.