Зимний турнир Архимеда 2023

Из лепестков сложен треугольник. Требуется заполнить лепестки на рисунке числами $1$, $2$ и $3$ так, чтобы в каждом лепестке было записано ровно одно число и соблюдалось правило: если три лепестка касаются одного и того же чёрного кружочка, то числа в них либо все одинаковые, либо все разные. Вася заполнил числами $4$ лепестка. Помогите ему заполнить все лепестки в соответствии с правилом, так, чтобы сумма чисел в треугольнике была максимальной. Укажите эту сумму.

На столе выложены карточки в виде примера на сложение (см. рис.). Оксана на каждой карточке написала по одной цифре (цифры не обязательно разные). Получился пример с верным ответом. Федя переложил карточки в первых двух строках (третью строку он не трогал) — ни одна из карточек не оказалась в том же числовом разряде, где была, поэтому ответ оказался неверным. На помощь пришла Настя. Ей удалось, поменяв одну карточку в третьей строке на свою карточку с другой цифрой, получить пример с верным ответом. Какими могли бы быть примеры Оксаны, Феди и Насти? Придумайте подходящий набор примеров. Достаточно одного набора.

Два золотоискателя делят добытое золото. Всего у них $9$ самородков весом соответственно $64$, $68$, $40$, $34$, $8$, $13$, $16$, $32$ и $48$ г. Золотоискатели кладут самородки на чашечные весы так, чтобы получилось равновесие (если не получается, то можно некоторые самородки на весы не класть). Если весы в равновесии, золотоискатели забирают золото с чашек, всё остальное берёт бригадир. Сколько золота гарантированно получит бригадир? Укажите, как при этом достигается равновесие на весах.

Хакер Вася испортил секретную информацию, представленную в виде ряда натуральных чисел. Известно, что у него было $4$ вируса:

• Вирус «А» стирает все числа, кратные $3$.
• Вирус «Б» стирает все числа, при делении на $5$ дающие остаток $2$.
• Вирус «Г» стирает все числа, большие $17$, но не превосходящие $33$.
• Вирус «Д» стирает все числа, кратные $4$.

Выяснилось, что вирус «А» стёр числа $9$, $18$, $90$, $99$; вирус «Б» — $2$, $7$, $17$, $62$, $67$; вирус «Г» — $22$, $23$, $25$, $29$; вирус «Д» — $16$, $32$, $36$, $44$ и $88$. В каком порядке Вася запускал вирусы?

Конь Юлий, заработав тяжким трудом $100$ золотых и $100$ серебряных монет, решил отдохнуть на Бали. В рекламе вклада «Дупло дуба» сказано, что если «положить в дупло» $1$ золотую монету, то счёт в банке Бали вырастет на $4$ рупии, а если $1$ серебряную, то на $2$. Всё так и оказалось, но Юлию «забыли» объяснить, что при «взносе в дупло» нескольких монет сразу (не одной!) власти Бали взимают комиссию в $25\%$ размера взноса (в рупиях). В результате, вложив все свои деньги, Юлий обнаружил на счёте всего $454$ рупии. Сколько раз Юлий «положил в дупло» ровно $1$ золотую монету, если ровно $1$ серебряную монету он положил $2$ раза?

В гостях у Кролика Винни-Пух и Пятачок получили по банке мёда (разного размера) и сели завтракать. Если бы они сели за стол одновременно, то и завтрак бы закончили одновременно — в 10:00. Но Пятачок (как воспитанный поросёнок) первые $12$ минут мыл руки. Винни-Пух, закончив свою порцию, стал «помогать» другу, и в 10:03 они доели весь мёд. Во сколько раз порция Винни-Пуха больше порции Пятачка?

План дачного посёлка представляет собой клетчатый квадрат $8\times8$ (площадь каждой клетки — $1$ сотка — квадрат со стороной $10$ м), разбитый на участки двух видов (см. рис.). Участки разделены заборами. Какой могла быть суммарная длина заборов между участками, если участков размером в $5$ соток меньше, чем участков размером в $3$ сотки? Укажите все ответы и объясните, почему других нет. Приведите примеры.

Заминированные клетки прямоугольника $5\times9$ образуют квадрат $2\times2$. У сапёра есть прибор, с помощью которого можно выделить любую группу клеток, и, если среди выделенных клеток есть хотя бы одна клетка с миной, то на приборе загорается лампочка. Предложите способ, позволяющий гарантированно найти все заминированные клетки за наименьшее число измерений. Докажите, что не существует способа, позволяющего гарантированно найти все заминированные клетки за меньшее число измерений.