Зимний турнир Архимеда 2023 · 6–7 кл., №1.4

Условие

Хакер Вася испортил секретную информацию, представленную в виде ряда натуральных чисел. Известно, что у него было $4$ вируса:

Вирус «А» стирает все числа, кратные $3$
Вирус «Б» стирает все числа, при делении на $5$ дающие остаток $2$
Вирус «Г» стирает все числа, большие $17$ но не превосходящие $33$
Вирус «Д» стирает все числа, кратные $4$

Выяснилось, что вирус «А» стёр числа $9$ $18$ $90$ $99$ вирус «Б» — $2$ $7$ $17$ $62$ $67$ вирус «Г» — $22$ $23$ $25$ $29$ вирус «Д» — $16$ $32$ $36$ $44$ и $88$ В каком порядке Вася запускал вирусы?

О задаче

Олимпиада: Турнир Архимеда, XXXII зимний турнир
Предмет / классы: Математика · 6–7 классы, единый вариант
Дата: 22 января 2023

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЗапусти вирусы

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Предскажи и проверь

Запусти вирусы

Выбери порядок запуска. Модель сотрёт числа по правилам и покажет, совпало ли это с условием.

Без JavaScript модель не работает. Выпиши стёртые числа и для каждого отметь, каким вирусам оно подходит.

На олимпиаде здесь нужен только ответ. Попробуй в модели «Запусти вирусы»: выбери порядок вирусов — модель запустит их и покажет, какие числа стёр бы не тот вирус. Подумай, какие числа вообще что-то говорят о порядке.

Здесь ответ — порядок вирусов. Сравни свой порядок с разделом «Ответ» или запусти его в модели «Запусти вирусы».

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Стёртое число нельзя стереть второй раз. Значит, если число подходит двум вирусам, его стирает тот, кого запустили раньше. Найди среди стёртых такие числа.

Подсказка 2

Посмотри на $36$ $18$ и $22$ Каким двум вирусам подходит каждое из них и какой вирус его на самом деле стёр?

Разобрать решение по шагам

Какие числа говорят о порядке

Когда вирус стёр число, его больше нет, и следующий вирус стереть его уже не может. Поэтому каждое число стирает первый по порядку вирус, которому оно подходит.

Если число подходит только одному вирусу, оно ничего не говорит о порядке: его стёр этот вирус, когда бы его ни запустили. Подсказку дают числа, которые подходят сразу нескольким вирусам.

Ищем такие числа

Проверим каждое из $18$ стёртых чисел по всем четырём правилам. Сразу нескольким вирусам подходят только четыре числа:

число	каким вирусам подходит	кто стёр	вывод
$36$	«А» ( $36=3\cdot12$ ), «Д» ( $36=4\cdot9$ )	«Д»	«Д» раньше «А»
$18$	«А» ( $18=3\cdot6$ ), «Г» ( $17<18\le33$ )	«А»	«А» раньше «Г»
$22$	«Б» ( $22=5\cdot4+2$ ), «Г» ( $17<22\le33$ )	«Г»	«Г» раньше «Б»
$32$	«Б», «Г», «Д»	«Д»	«Д» раньше «Г» и «Б»

Остальные $14$ чисел подходят только тому вирусу, который их стёр.

Собираем порядок

Из первых трёх строк таблицы: «Д» раньше «А», «А» раньше «Г», «Г» раньше «Б». Получается цепочка «Д», «А», «Г», «Б» — и она единственная: каждое из трёх соотношений обязательно, а вместе они задают порядок всех четырёх вирусов.

Четвёртая строка ( $32$ ) с этим порядком согласна: «Д» запущен раньше «Г» и «Б».

Порядок «Д», «А», «Г», «Б». Под стрелками — числа, которые его доказывают.

Проверка

Запустим вирусы в порядке «Д», «А», «Г», «Б». «Д» стирает $16$ $32$ $36$ $44$ $88$ Затем «А» — $9$ $18$ $90$ $99$ ( $36$ уже стёрт). Затем «Г» — $22$ $23$ $25$ $29$ ( $18$ и $32$ уже стёрты). Последним «Б» — $2$ $7$ $17$ $62$ $67$ ( $22$ и $32$ уже стёрты). Всё совпадает с условием. Перебор всех $24$ порядков в модели и тесте даёт только этот.

Ответ

«Д», «А», «Г», «Б».

Ответ

«Д», «А», «Г», «Б».

Главная идея

Число стирает первый подходящий вирус. Поэтому о порядке говорят только числа, которые подходят двум вирусам сразу: кто из двух их стёр, тот и запущен раньше.

Признак: несколько правил действуют по очереди на одни и те же объекты. Ищи объекты, к которым подходят два правила, — они и показывают очерёдность.

Где легко ошибиться

Смотреть на числа, которые подходят только одному вирусу, например $9$ или $88$ они ничего не говорят о порядке. Ещё ошибка — забыть, что $22$ даёт остаток $2$ при делении на $5$ и не найти, почему «Б» последний.

Источник и авторство

Турнир Архимеда · XXXII Зимний турнир · 22 января 2023 · математика · единый вариант для 6 и 7 классов. Официальная задача 1.4, 5 баллов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Условия и решения ↗ · Страница турнира ↗

Условие — из официального PDF, рисунок перерисован по нему. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Продолжить тему: Высказывания и логические выводы →

Тема, знания и приёмы

Высказывания и логические выводы · Нужна школьная база

Деление с остатком
Признаки делимости на 3 и на 4

Приёмы решения: Логический вывод и исключение вариантов · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →