Задача 1.3. Самородки на весах

Что значит «гарантированно»

Золотоискатели сами выбирают, что положить на весы, и хотят забрать побольше. Бригадир гарантированно получит то, что останется при самом выгодном для них равновесии. Значит, нужно сделать две вещи: найти равновесие с наибольшим весом на чашах и доказать, что больше уравновесить нельзя.

Всего золота $64+68+40+34+8+13+16+32+48=323$ г.

Чётность: самородок 13 г остаётся бригадиру

В равновесии на чашах поровну, поэтому вес всего золота на весах — удвоенный вес одной чаши, то есть чётное число.

Среди самородков только один нечётный — $13$ г. Если он на весах, то к нему добавляются только чётные веса, и сумма на весах нечётна. Так не бывает. Значит, самородок $13$ г всегда достаётся бригадиру.

Остаток при делении на 4: самородок 34 г тоже остаётся

Остальные веса: $64$, $68$, $40$, $34$, $8$, $16$, $32$, $48$. Все они делятся на $4$, кроме $34=4\cdot 8+2$.

Пусть $34$ лежит на какой-то чаше. Тогда вес этой чаши при делении на $4$ даёт остаток $2$, а вес другой чаши, где лежат только числа, кратные $4$, делится на $4$. Равных весов так не получить. Значит, и $34$ г достаётся бригадиру.

Тот же приём ещё раз: самородок 68 г

На весах могут быть только $64$, $68$, $40$, $8$, $16$, $32$, $48$ — все кратны $4$. Разделим их на $4$: получим $16$, $17$, $10$, $2$, $4$, $8$, $12$. Равновесие этих «уменьшенных» весов — то же самое, что равновесие настоящих.

А это снова задача из шага 2: нечётное число только одно — $17$. Значит, самородок $68$ г тоже на весы не попадает.

Итак, бригадиру всегда достаются $13$, $34$ и $68$ г — не меньше $13+34+68=115$ г.

Равновесие, при котором бригадиру ровно 115 г

Оставшиеся самородки весят $64+40+8+16+32+48=208$ г, по $104$ г на чашу. Подбираем: $64+40=104$ и $8+16+32+48=104$. Весы в равновесии, бригадир получает ровно $115$ г.

Есть и другие раскладки, например $64+32+8=104=16+40+48$.