Задача 1.2. Карточки: переложить и исправить

Что Федя не может изменить

Числа $100$, $10$ и $1$ при делении на $9$ дают остаток $1$. Поэтому остаток числа при делении на $9$ такой же, как у суммы его цифр. Например, $124$: $1+2+4=7$, и $124=13\cdot 9+7$.

Федя перекладывает те же шесть карточек. Сумма всех шести цифр не меняется, значит, у суммы двух слагаемых не меняется и остаток при делении на $9$. У Оксаны эта сумма равнялась ответу в третьей строке. Значит, верная сумма Феди и ответ Оксаны дают одинаковый остаток при делении на $9$, хотя сами числа разные.

Какую карточку меняет Настя

Настя меняет одну цифру ответа и получает сумму Феди. Остаток при этом не должен измениться. Если цифра $d$ заменена на другую цифру $e$, остаток меняется на $e-d$, и это должно делиться на $9$. Разные цифры отличаются не больше чем на $9$, поэтому это возможно только для $0$ и $9$.

Итак, Настя меняет $0$ на $9$ или $9$ на $0$. Не в разряде сотен: ноль в начале числа запрещён. Значит, в разряде десятков или единиц — и сумма Феди отличается от ответа Оксаны на $90$ или на $9$.

Строим пример

Пусть в ответе Оксаны в разряде единиц стоит $0$, а сумма Феди на $9$ больше. Чтобы каждая карточка точно сменила разряд, сдвинем цифры первой строки по кругу влево, а второй — по кругу вправо. Нужно, чтобы сумма выросла ровно на $9$: сдвиг $124\to241$ прибавляет $117$, сдвиг $786\to678$ отнимает $108$, вместе $+9$. Получаем:

• Оксана: $124+786=910$;
• Федя: $241+678$ — верная сумма $919$, а в третьей строке осталось $910$;
• Настя меняет карточку $0$ на $9$: $241+678=919$.

Проверим карточки Феди: $1$ ушла из сотен в единицы, $2$ — из десятков в сотни, $4$ — из единиц в десятки; $7$ — из сотен в десятки, $8$ — из десятков в единицы, $6$ — из единиц в сотни. Ни одна не осталась в своём разряде, и каждая — в своей строке.