Физика · 2025/26 · Отборочный этап

Разность потенциалов концентрических сфер

Условие

Три проводящие концентрические сферы, изображенных на рисунке, радиусами R1=RR_1=R, R2=2RR_2=2R, R3=3RR_3=3R имеют заряды q1=2qq_1=2q, q2=−qq_2=-q, q3=2qq_3=2q соответственно. Найдите разность потенциалов между точками, принадлежащими сферам φA−φC\varphi_A-\varphi_C, если R=10 смR=10\,\text{см}, q=1 нКлq=1\,\text{нКл}. Ответ приведите в вольтах, округлив значение до целого. Принять постоянную Кулона: k=9⋅109 Н⋅м2Кл2k=9\cdot10^9\,\frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{Кл}^2}.

К условию
R₁R₂R₃ABCq₁q₂q₃
Авторская схема концентрических сфер. Точка A лежит на внутренней сфере, B — на средней, C — на внешней.
О задаче · 11 класс · 16 баллов
Олимпиада
Шаг в будущее
Предмет / класс
Физика · 11 класс
Сезон / этап
2025/26 · Отборочный этап
Комплект
Вариант 1 · задача 9
Официальные баллы16 балловСумма максимумов по критериям: 100.
Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 11 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Сложим потенциалы, а не напряжённости

Нуль потенциала выбран на бесконечности. Цветом выделена оболочка, чей вклад рассматриваем. Остальные заряды остаются на месте; это разложение по суперпозиции, а не физическое отключение оболочек.

1. Внутренняя сфера

Для заряда 2q2q обе точки находятся на поверхности или снаружи оболочки. Поэтому

φA(1)=2kqR=180 В,φC(1)=2kq3R=60 В.\begin{aligned}\varphi_A^{(1)}&=\frac{2kq}{R}=180\,\text{В},\\[0.45em]\varphi_C^{(1)}&=\frac{2kq}{3R}=60\,\text{В}.\end{aligned}

Её вклад в разность равен 120 В120\,\text{В}.

К этому шагу
Потенциалы в точках A и C от выделенной сферической оболочкиВклад внутренней сферы +2qOACRA: r = RC: r = 3RПотенциал в A180 ВПотенциал в C60 ВРазность вкладов120 В

2. Средняя сфера

Точка AA внутри оболочки радиуса 2R2R, поэтому знаменатель здесь 2R2R, а не расстояние RR до центра. Получаем

φA(2)=−kq2R=−45 В,φC(2)=−kq3R=−30 В.\begin{aligned}\varphi_A^{(2)}&=-\frac{kq}{2R}=-45\,\text{В},\\[0.45em]\varphi_C^{(2)}&=-\frac{kq}{3R}=-30\,\text{В}.\end{aligned}

Вклад в разность потенциалов равен −15 В-15\,\text{В}.

К этому шагу
Потенциалы в точках A и C от выделенной сферической оболочкиВклад средней сферы −qOACRA: r = RC: r = 3RПотенциал в A−45 ВПотенциал в C−30 ВРазность вкладов−15 В

3. Внешняя сфера

Точка AA внутри, а CC на поверхности оболочки радиуса 3R3R. Для обеих её вклад одинаков:

φ(3)=2kq3R=60 В.\varphi^{(3)}=\frac{2kq}{3R}=60\,\text{В}.

Поле внутри равно нулю, но потенциал не нулевой. Из разности одинаковые вклады сокращаются.

К этому шагу
Потенциалы в точках A и C от выделенной сферической оболочкиВклад внешней сферы +2qOACRA: r = RC: r = 3RПотенциал в A60 ВПотенциал в C60 ВРазность вкладов0

4. Суммарный потенциал

Складываем со знаками:

φA=180−45+60=195 В,φC=60−30+60=90 В.\begin{aligned}\varphi_A&=180-45+60=195\,\text{В},\\[0.45em]\varphi_C&=60-30+60=90\,\text{В}.\end{aligned}

Тогда φA−φC=105 В\varphi_A-\varphi_C=105\,\text{В}. Та же проверка по вкладам: 120−15+0=105 В120-15+0=105\,\text{В}.

К этому шагу
Потенциалы в точках A и C от выделенной сферической оболочкиСумма трёх вкладовOACRA: r = RC: r = 3RПотенциал в A195 ВПотенциал в C90 ВРазность вкладов105 В

Все состояния доступны отдельно и в статичном режиме. Переходы служат разбору, а не моделируют время процесса.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Потенциал заряженной сферической оболочки снаружи равен kq/rkq/r, а внутри постоянен и равен kq/Rоболочкиkq/R_{\text{оболочки}}.

Подсказка 2

Для точки AA сложите вклад внутренней сферы на её поверхности и постоянные вклады двух внешних. Для CC все три вклада можно сложить как потенциал суммарного заряда на радиусе 3R3R.

Разобрать решение по шагам
01

Разберём вклад одной сферы

При нуле потенциала на бесконечности вклад сферической оболочки радиуса aa и заряда QQ равен kQr\frac{kQ}{r} при r≥ar\ge a и kQa\frac{kQ}{a} при r≤ar\le a. Внутри поле отсутствует, поэтому потенциал постоянен и совпадает со значением на поверхности. Потенциалы складываются алгебраически.

По рисунку AA находится на внутренней сфере радиуса RR, а CC — на внешней радиуса 3R3R.

К этому шагу
Потенциалы в точках A и C от выделенной сферической оболочкиВклад внешней сферы +2qOACRA: r = RC: r = 3RПотенциал в A60 ВПотенциал в C60 ВРазность вкладов0
Пример постоянного внутреннего потенциала: внешняя оболочка даёт одинаковые 60 В в A и C.
02

Вычислим потенциал внутренней сферы

В точке AA вклад её собственной сферы равен 2kqR\frac{2kq}{R}. Средняя и внешняя сферы дают постоянные внутренние потенциалы −kq2R-\frac{kq}{2R} и 2kq3R\frac{2kq}{3R}. Поэтому

φA=2kqR−kq2R+2kq3R=136kqR.\varphi_A=\frac{2kq}{R}-\frac{kq}{2R}+\frac{2kq}{3R}=\frac{13}{6}\frac{kq}{R}.
03

Вычислим потенциал внешней сферы и разность

Для точки CC все заряды находятся на расстояниях от центра, не превышающих 3R3R. Суммарный заряд 2q−q+2q=3q2q-q+2q=3q, значит,

φC=k⋅3q3R=kqR.\varphi_C=\frac{k\cdot3q}{3R}=\frac{kq}{R}.

Таким образом,

φA−φC=(136−1)kqR=76kqR.\varphi_A-\varphi_C=\left(\frac{13}{6}-1\right)\frac{kq}{R}=\frac76\frac{kq}{R}.

В СИ R=0,1 мR=0{,}1\,\text{м}, q=10−9 Клq=10^{-9}\,\text{Кл}, поэтому

φA−φC=76⋅9⋅109⋅10−90,1 В=105 В.\varphi_A-\varphi_C=\frac76\cdot\frac{9\cdot10^9\cdot10^{-9}}{0{,}1}\,\text{В}=105\,\text{В}.
К этому шагу
Потенциалы в точках A и C от выделенной сферической оболочкиСумма трёх вкладовOACRA: r = RC: r = 3RПотенциал в A195 ВПотенциал в C90 ВРазность вкладов105 В
Суммирование потенциалов со знаками. Нулевой потенциал выбран на бесконечности.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

105 В105\,\text{В}.

Главная идея

Складываем потенциалы трёх сфер с учётом того, находится точка внутри или снаружи каждой оболочки.

Как заметить эту идею в другой задаче

Концентрические проводящие сферические оболочки сохраняют сферическую симметрию; удобно применять суперпозицию потенциалов.

Возможная ошибка

Внутри заряженной оболочки нулевое поле, но потенциал не равен нулю. Отрицательный заряд средней сферы необходимо учитывать со знаком.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 9 · задача 9 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 11 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Электростатика →
Тема, знания и приёмы

Электростатика · Продвинутая подготовка

  • Закон Кулона
  • напряжённость и потенциал

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →
Учебная схема