Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 11 кл., №4 — решение · отбор

Условие

При штатном осмотре трубы нефтепровода, расположенного горизонтально, были обнаружены следы деформации. Сотрудникам, обслуживающим данный участок, необходимо было на месте оценить последствия происшествия. Экспертиза показала, что сечение трубы изменилось на эллиптическое, а максимальное расстояние между стенками трубы составило $60\,\text{см}$ В технических характеристиках участка нефтепровода заявлено: диаметр трубы $d=53\,\text{см}$ скорость потока нефти $v=2\,\text{м/с}$ плотность нефти $\rho=900\,\text{кг/м}^3$ Рассчитайте изменение давления на аварийном участке. Толщиной стенок нефтепровода и сжимаемостью нефти пренебречь. Рассчитать периметр эллипса можно приближенно по формуле: $2\pi\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ , где $a$ и $b$ — полуоси эллипса. Ответ приведите в СИ, округлив до целого.

О задаче · 11 класс · 10 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллы10 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 11 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

При изменении формы сечения без растяжения стенки его периметр сохраняется. Большая полуось равна половине максимального расстояния между стенками.

Подсказка 2

Используйте последовательно периметр эллипса, равенство расходов $S_0v=S_1v_1$ и уравнение Бернулли для горизонтальной трубы.

Разобрать решение по шагам

Восстановим малую полуось

Применим модель изменения формы трубы без растяжения стенки: периметр сечения остаётся равным $\pi d$ Большая полуось $a=0{,}30\,\text{м}$ По данной приближённой формуле

2\pi\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}=\pi d,

откуда

b=\sqrt{\frac{d^2}{2}-a^2}=\sqrt{\frac{0{,}53^2}{2}-0{,}30^2}\,\text{м}\approx0{,}22461\,\text{м}.

Круглое и эллиптическое сечения с диаметром и полуосями

Используем сохранение расхода

Начальная площадь $S_0=\frac{\pi d^2}{4}$ новая $S_1=\pi ab$ За одно и то же время через любое сечение проходит одинаковый объём несжимаемой нефти, поэтому

S_0v=S_1v_1,\qquad v_1=v\frac{d^2}{4ab}.

Подстановка даёт

v_1=2\cdot\frac{0{,}53^2}{4\cdot0{,}30\cdot0{,}2246108}\,\text{м/с}\approx2{,}08435\,\text{м/с}.

Уменьшение площади действительно привело к росту скорости.

Найдём изменение давления и его знак

Для горизонтального потока в принятой идеальной модели

p_0+\frac{\rho v^2}{2}=p_1+\frac{\rho v_1^2}{2}.

Следовательно,

\Delta p=p_1-p_0=\frac\rho2(v^2-v_1^2)\approx\frac{900}{2}(4-2{,}08435^2)\,\text{Па}\approx-155{,}03\,\text{Па}.

Давление на деформированном участке меньше исходного примерно на $155\,\text{Па}$

Ответ

Давление уменьшится на $155\,\text{Па}$ $\Delta p=-155\,\text{Па}$

Главная идея

Деформация уменьшает площадь сечения; сохранение расхода увеличивает скорость и понижает давление.

Как заметить эту идею в другой задаче

Изменение сечения несжимаемого потока связывает геометрию, неразрывность потока и уравнение Бернулли.

Возможная ошибка

Нельзя приравнивать площади сечений: сохраняется расход. В формуле площади эллипса стоят полуоси, а не полные диаметры.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 4 · задача 4 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 11 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Жидкости и плавание · Уровень уточняется

Площадь круга и эллипса
Объёмный расход несжимаемой жидкости
Уравнение Бернулли для идеального горизонтального потока

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →