Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 11 кл., №3 — решение · отбор

Условие

В сосуде, закрытом подвижным поршнем, находится разреженный гелий. В некотором промежутке времени проводится эксперимент. При снятии показаний давлений и объема получены графики, изображенные на рисунке. Найдите КПД цикла. Ответ дайте в процентах, округлив значение до целого.

Авторская перерисовка двух временных графиков из условия; единицы и узловые значения сохранены.

О задаче · 11 класс · 8 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллы8 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 11 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

На каком участке газ получает тепло

Выберем ветвь уже восстановленного цикла. Работа газа положительна при расширении; теплота положительна, когда она поступает в газ. Временная скорость обхода здесь не моделируется.

1. A → B: нагрев и расширение

Давление растёт от $5$ до $10\,\text{бар}$ объём — от $3$ до $6\,\text{л}$ Площадь под прямой даёт $A_{AB}=2250\,\text{Дж}$ Внутренняя энергия растёт на $6750\,\text{Дж}$ поэтому $Q_{AB}=9000\,\text{Дж}$

2. B → C: охлаждение без работы

Объём остаётся $6\,\text{л}$ $A_{BC}=0$ Давление падает вдвое, $\Delta U_{BC}=\frac32(5\cdot6-10\cdot6)\cdot100=-4500\,\text{Дж}$ . Вся эта энергия отводится в виде тепла.

3. C → A: сжатие и отдача тепла

При $5\,\text{бар}$ объём уменьшается с $6$ до $3\,\text{л}$ Работа газа $A_{CA}=-1500\,\text{Дж}$ изменение внутренней энергии $-2250\,\text{Дж}$ Поэтому $Q_{CA}=-3750\,\text{Дж}$

4. За цикл: площадь и баланс

Газ вернулся в исходное состояние: $\Delta U_{\text{цикл}}=0$ Работа равна площади треугольника: $750\,\text{Дж}$ Проверка тепла: $9000-4500-3750=750\,\text{Дж}$ . В знаменатель КПД входит только подведённое тепло $9000\,\text{Дж}$

Все состояния доступны отдельно и в статичном режиме. Переходы служат разбору, а не моделируют время процесса.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сопоставьте значения $p$ и $V$ в одни и те же моменты времени. Получатся три состояния газа.

Подсказка 2

Для одноатомного газа $U_{\text{внутр}}=\frac32pV$ , а работа — площадь под графиком в координатах $p,V$

Разобрать решение по шагам

Восстановим состояния и ход цикла

В момент $t=1\,\text{мин}$ имеем $A:(V,p)=(3\,\text{л},5\,\text{бар})$ , при $t=3\,\text{мин}$ — $B:(6\,\text{л},10\,\text{бар})$ , при $t=5\,\text{мин}$ — $C:(6\,\text{л},5\,\text{бар})$ . К моменту $t=7\,\text{мин}$ газ возвращается в $A$

На первом участке оба графика линейны, поэтому в координатах $p,V$ отрезок $AB$ тоже прямой. Участок $BC$ изохорный, $CA$ изобарный. Цикл обходится по часовой стрелке.

Те же состояния в координатах давления и объёма. Направление обхода определено временем.

Найдём полезную работу

Работа за цикл равна площади треугольника:

A_{\text{цикл}}=\frac12(10-5)(6-3)=7{,}5\,\text{бар}\cdot\text{л}.

Поскольку $1\,\text{бар}=10^5\,\text{Па}$ и $1\,\text{л}=10^{-3}\,\text{м}^3$ , имеем $1\,\text{бар}\cdot\text{л}=100\,\text{Дж}$ . Значит, $A_{\text{цикл}}=750\,\text{Дж}$ .

Выделим участок подвода тепла

Гелий — одноатомный газ, поэтому $U_{\text{внутр}}=\frac32pV$ . На участке $AB$ и внутренняя энергия, и объём растут. Работа расширения равна

A_{AB}=\frac{5+10}{2}(6-3)=22{,}5\,\text{бар}\cdot\text{л},

а изменение внутренней энергии —

\Delta U_{AB}=\frac32(10\cdot6-5\cdot3)=67{,}5\,\text{бар}\cdot\text{л}.

По первому началу термодинамики $Q_{AB}=\Delta U_{AB}+A_{AB}=90\,\text{бар}\cdot\text{л}=9000\,\text{Дж}$ . На $BC$ газ охлаждается при постоянном объёме, на $CA$ сжимается при постоянном давлении: на обоих участках тепло отводится. Поэтому $Q_+=9000\,\text{Дж}$

На ветви AB положительны и работа газа, и изменение внутренней энергии: теплота подводится.

Вычислим КПД

\eta=\frac{A_{\text{цикл}}}{Q_+}=\frac{750}{9000}=\frac1{12}\approx0{,}08333.

В процентах это $8{,}333\ldots\%$ после округления — $8\%$

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$8\%$

Главная идея

Переводим два временных графика в один цикл на плоскости $p,V$ и отдельно находим работу и подведённое тепло.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если даны графики $p(t)$ и $V(t)$ точки цикла восстанавливаются по одинаковым моментам времени.

Возможная ошибка

Площадь под графиком $p(t)$ не является работой. В знаменателе КПД нужно подведённое тепло, а не изменение внутренней энергии за цикл.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 3 · задача 3 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 11 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Следующий учебный шаг

Попробуй похожую задачу

Сравнение КПД двух треугольных циклов →

Шаг в будущее · № 7

Сложность 4/5 · предварительная оценка

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Продвинутая подготовка

Уравнение состояния
первый закон термодинамики
график p(V)

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний · Первый закон для цикла

Задать вопрос по задаче →