Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 11 кл., №7 — решение · отбор

Условие

Одноатомный идеальный газ участвует в процессах, указанных на рисунке. Циклы $2-3-4-2$ и $5-4-3-5$ представляют из себя равнобедренные треугольники (считать равными стороны $23=34=45$ ). Найдите отношение КПД циклов $1-3-5-1$ и $1-4-2-1$ ( $\eta_{1351}/\eta_{1421}$ ). Ответ округлите до десятых.

Авторская перерисовка исходной диаграммы. Штриховая линия от начала координат продолжает отрезок 23.

О задаче · 11 класс · 15 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 7

Официальные баллы15 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 11 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Продолжение отрезка $23$ проходит через начало координат. Вместе с равенством боковых сторон это позволяет восстановить объёмы всех вершин.

Подсказка 2

Работы двух циклов равны площадям их треугольников. Найдите, на каких участках каждого цикла газ получает тепло.

Разобрать решение по шагам

Восстановим координаты пяти состояний

Введём безразмерные координаты $x=\frac{V}{V_0}$ $y=\frac{p}{p_0}$ Точка $2$ имеет координаты $(1,1)$ Прямая $23$ проходит через начало координат, поэтому $3=(2,2)$ У отрезков $23$ и $34$ равны длины и вертикальные перепады. По теореме Пифагора равны и модули горизонтальных смещений. Точка $4$ лежит справа от $3$ поэтому $4=(3,1)$ Аналогично из $34=45$ получаем $5=(4,2)$

Прямые $34$ и $25$ задаются уравнениями

y=4-x,\qquad y=\frac{x+2}{3}.

Чтобы найти их пересечение, приравняем правые части:

3(4-x)=x+2,\qquad4x=10,\qquad x=\frac52.

Тогда $y=\frac32$ то есть $1=\left(\frac52,\frac32\right)$ .

Сравним работу циклов

У треугольника $135$ горизонтальное основание $35$ имеет длину $2V_0$ высота равна $\frac{p_0}{2}$ У треугольника $142$ основание $24$ и высота такие же. Оба цикла идут по часовой стрелке, поэтому

A_{1351}=A_{1421}=\frac12\cdot2V_0\cdot\frac{p_0}{2}=\frac{p_0V_0}{2}.

Проверим знак теплообмена на наклонных линиях

Для КПД важно, где газ получает тепло, а не только сколько тепла получает за целый участок. Проверим знак на произвольном отрезке прямой, соединяющем состояния $(p,V)$ и $(p+\Delta p,V+\Delta V)$

Работа равна средней высоте трапеции, умноженной на изменение объёма. По первому началу термодинамики для одноатомного газа

\begin{aligned} \Delta Q&=\frac32\Delta(pV)+p_{\text{ср}}\Delta V,\\[0.45em] p_{\text{ср}}&=p+\frac{\Delta p}{2}. \end{aligned}

Здесь $\Delta(pV)=(p+\Delta p)(V+\Delta V)-pV$ . Раскрывая скобки, получаем точную формулу

\Delta Q=\frac32V\Delta p+\frac52p\Delta V+2\Delta p\Delta V.

Теперь перейдём к координатам $x=\frac{V}{V_0}$ $y=\frac{p}{p_0}$ и обозначим $x_{\text{ср}}=x+\frac{\Delta x}{2}$ — середину выбранного отрезка по оси объёма.

На прямой $34$ где $y=4-x$ имеем $\Delta y=-\Delta x$ Подстановка даёт

\begin{aligned} \frac{\Delta Q}{p_0V_0}&=\frac32x(-\Delta x)+\frac52(4-x)\Delta x-2(\Delta x)^2\\[0.45em] &=(10-4x-2\Delta x)\Delta x\\[0.45em] &=(10-4x_{\text{ср}})\Delta x. \end{aligned}

На пути $1\to3$ выполняются $2<x_{\text{ср}}<\frac52$ и $\Delta x<0$ тепло отводится. На пути $1\to4$ имеем $\frac52<x_{\text{ср}}<3$ и $\Delta x>0$ тепло тоже отводится. Формула точная для любого непустого кусочка соответствующего пути, поэтому скрытого участка подвода тепла здесь нет.

На прямой $25$ где $y=\frac{x+2}{3}$ имеем $\Delta y=\frac{\Delta x}{3}$ . Та же подстановка приводит к

\begin{aligned} \frac{\Delta Q}{p_0V_0}&=\frac{x}{2}\Delta x+\frac{5(x+2)}6\Delta x+\frac23(\Delta x)^2\\[0.45em] &=\frac{4x_{\text{ср}}+5}{3}\Delta x. \end{aligned}

Скобка положительна: на $5\to1$ тепло отводится, на $2\to1$ — подводится. При изобарном расширении $3\to5$ тепло подводится, при сжатии $4\to2$ — отводится.

Подвод и отвод тепла на каждом из двух треугольных циклов

Посчитаем подведённое тепло

В большом цикле тепло поступает только на изобарном участке $3\to5$

Q_{+,1351}=\frac52\cdot2p_0\cdot(4V_0-2V_0)=10p_0V_0.

В малом цикле тепло поступает только на участке $2\to1$ Здесь

\Delta U_{21}=\frac32p_0V_0\left(\frac52\cdot\frac32-1\right)=\frac{33}{8}p_0V_0,

A_{21}=\frac{p_0+\frac{3p_0}{2}}{2}\left(\frac52V_0-V_0\right)=\frac{15}{8}p_0V_0.

Поэтому $Q_{+,1421}=\Delta U_{21}+A_{21}=6p_0V_0$ .

Сократим одинаковые работы

\frac{\eta_{1351}}{\eta_{1421}}=\frac{\frac{A_{1351}}{Q_{+,1351}}}{\frac{A_{1421}}{Q_{+,1421}}}=\frac{6p_0V_0}{10p_0V_0}=0{,}6.

Для проверки сами КПД равны $\frac1{20}$ и $\frac1{12}$

Ответ

$0{,}6$

Главная идея

Равные площади циклов сокращают отношение КПД до обратного отношения подведённого тепла; его знак на наклонных участках нужно проверить.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если циклы изображены на одном графике, сначала сравните их площади, затем найдите участки подвода тепла.

Возможная ошибка

Положительное изменение температуры само по себе не гарантирует подвод тепла: нужно учитывать работу сжатия.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 7 · задача 7 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 11 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Следующий учебный шаг

Попробуй похожую задачу

КПД цикла по графикам давления и объёма →

Шаг в будущее · № 3

Сложность 3/5 · предварительная оценка

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Продвинутая подготовка

Уравнение состояния
первый закон термодинамики
график p(V)

Приёмы решения: Первый закон для цикла · Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →