Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 11 кл., №6 — решение · отбор

Условие

Найдите ускорение центра масс системы грузов $m=1\,\text{кг}$ и $M=3\,\text{кг}$ находящихся на неподвижном гладком клине с углом наклона $\alpha=30^\circ$ к горизонту. Грузы соединены нерастяжимой невесомой нитью, перекинутой через идеальный блок. Трением в оси блока пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным $10\,\text{м/с}^2$ Ответ приведите в системе СИ, округлив до сотых.

Авторская схема расположения грузов: лёгкий груз висит, тяжёлый находится на гладком неподвижном склоне.

О задаче · 11 класс · 10 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 6

Официальные баллы10 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 11 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Проверить на модели

Сложить векторы, а не их длины

Построй ускорение центра масс из двух взвешенных вкладов. Обрати внимание, как вертикальные части частично компенсируются.

Шаг построения0

Статичный режим

Начальное состояние. Управление станет доступно после загрузки страницы.

Ускорение каждого груза по модулю: 1,25 м/с². Проекции ускорения центра масс: 0,8119 и -0,15625 м/с²; модуль: 0,8268 м/с².

① $\dfrac{M}{M+m}\vec a_M=\dfrac34\vec a_M$ — синий вклад; ② $\dfrac{m}{M+m}\vec a_m=\dfrac14\vec a_m$ — золотой. Второй вектор переносим параллельно самому себе к концу первого. ③ $\vec a_C$ идёт от общего начала к концу суммы.

\vec a_C=\left(\frac{15\sqrt3}{32},-\frac5{32}\right)\,\text{м/с}^2.

Клин неподвижен. Это построение ускорений, а не анимация движения грузов: исходные скорости в условии не заданы. В шаге 0 длины стрелок условные; в шагах 1–3 все взвешенные векторы изображены в едином масштабе.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сначала найдите ускорение грузов из двух уравнений Ньютона вдоль нити. Затем разложите ускорение груза $M$ на горизонтальную и вертикальную составляющие.

Подсказка 2

При оси вверх ускорения имеют составляющие $\vec a_m=(0,a)$ и $\vec a_M=(a\cos\alpha,-a\sin\alpha)$ .

Разобрать решение по шагам

Определим направления ускорений

Вдоль наклонной плоскости сила тяжести груза $M$ даёт составляющую $Mg\sin\alpha=3\cdot10\cdot\frac{1}{2}=15\,\text{Н}$ . Ей противодействует сила тяжести лёгкого груза $mg=10\,\text{Н}$ Поэтому ускорение $M$ направлено вниз по клину, ускорение $m$ — вверх.

Речь пока об ускорениях, а не об уже известных скоростях: исходные скорости в условии не заданы. Нить нерастяжима, блок и клин неподвижны, поэтому модули ускорений одинаковы; обозначим их через $a$

Верхняя схема: натяжение начинается в креплении нити, тяжесть — в центре масс, реакция N — в месте контакта с клином. Длины стрелок условные. Ускорения на этих схемах не показаны.

На нижней схеме изображены только проекции сил, действующих на груз $M$ вдоль склона. $Mg\sin\alpha$ — проекция уже показанной силы $Mg$ а не ещё одна сила. Проекция реакции $N$ на склон равна нулю. Для груза $m$ вверх положительно: $T-mg=ma$ для груза $M$ вниз по склону положительно: $Mg\sin\alpha-T=Ma$

Исключим натяжение нити

У идеальной невесомой нити натяжение $T$ одинаково по обе стороны блока. Запишем второй закон Ньютона по направлению ускорения каждого груза:

\begin{aligned}Mg\sin\alpha-T&=Ma,\\[0.3em]T-mg&=ma.\end{aligned}

Сложим уравнения: натяжение сократится. Получим

g(M\sin\alpha-m)=(M+m)a,

a=\frac{10\left(3\cdot\frac{1}{2}-1\right)}{3+1}\,\text{м/с}^2=\frac{5}{4}\,\text{м/с}^2.

Сложим ускорения с весами по массам

Ось $Ox$ направим вправо, $Oy$ вверх. Ускорение лёгкого груза вертикально: $\vec a_m=(0,a)$ Тяжёлый ускоряется вправо и вниз по склону:

\vec a_M=(a\cos\alpha,-a\sin\alpha).

Для центра масс нужен векторный средний результат:

\vec a_C=\frac{M}{M+m}\vec a_M+\frac{m}{M+m}\vec a_m=\frac{3}{4}\vec a_M+\frac{1}{4}\vec a_m.

На схеме уменьшаем стрелку $\vec a_M$ до трёх четвертей, стрелку $\vec a_m$ — до одной четверти и ставим вторую в конец первой. Стрелка от начала первой до конца второй — $\vec a_C$ Вверх направленная часть частично компенсирует вниз направленную; горизонтальная часть остаётся.

Синий вклад направлен вниз по клину, золотой — вверх. Их сумма направлена вправо и немного вниз. Длины векторов согласованы с массами.

$\vec a_C=\frac34\vec a_M+\frac14\vec a_m$ . Отдельные ускорения имеют одинаковый модуль, но доли масс разные.

Проверим построение по проекциям

Подставляем $a=\frac{5}{4}\,\text{м/с}^2$ , $\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$

a_{Cx}=\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{32}\,\text{м/с}^2,

\begin{aligned}a_{Cy}&=\frac{3}{4}\left(-\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}\cdot\frac{5}{4}\\[0.3em]&=-\frac{15}{32}+\frac{10}{32}=-\frac{5}{32}\,\text{м/с}^2.\end{aligned}

Значит, результирующая стрелка направлена вправо и немного вниз. Это согласуется с построением, а не со средним модулем $a$

Найдём модуль результирующего ускорения

Проекции перпендикулярны, поэтому применяем теорему Пифагора:

\begin{aligned}|\vec a_C|&=\sqrt{a_{Cx}^2+a_{Cy}^2}\\[0.3em]&=\frac{\sqrt{(15\sqrt{3})^2+5^2}}{32}\,\text{м/с}^2\\[0.3em]&=\frac{\sqrt{675+25}}{32}\,\text{м/с}^2\\[0.3em]&=\frac{5\sqrt{7}}{16}\,\text{м/с}^2\approx0{,}83\,\text{м/с}^2.\end{aligned}

Этот результат меньше ускорения каждого груза: их векторы направлены по-разному и частично компенсируются.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$0{,}83\,\text{м/с}^2$

Главная идея

Модули ускорений грузов одинаковы, но направления различны. Ускорение центра масс — взвешенная векторная сумма.

Как заметить эту идею в другой задаче

Нить связывает модули ускорений, а центр масс требует векторного сложения.

Возможная ошибка

Одинаковые модули ускорений не означают одинаковые векторы; складывать модули нельзя.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 6 · задача 6 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 11 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Продвинутая подготовка

Второй закон Ньютона
Проекции векторов
Центр масс
Тригонометрия

Приёмы решения: Уравнение сил · Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →