Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 11 кл., №1 — решение · отбор

Условие

Велосипедисту предстоит марафон, состоящий из $2024$ одинаковых участков. Первый участок гонки спортсмен проходит с самой маленькой скоростью, затем его скорость на каждом участке увеличивается в $1{,}03$ раза. Во сколько раз в таком случае будут отличаться средняя скорость от начальной? Ответ округлите до целого.

Показаны первые, промежуточные и последний участки; это схема, а не весь марафон.

$N=2024$ длина участка $l$ Первая скорость — $v_1$ множитель роста скорости — $q=1{,}03$

О задаче · 11 класс · 8 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 1

Официальные баллы8 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 11 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Если длина участка $l$ то времена равны $\frac{l}{v_1},\frac{l}{qv_1},\ldots$ , где $q=1{,}03$

Подсказка 2

Используйте сумму геометрической прогрессии для полного времени, а затем разделите весь путь $Nl$ на эту сумму.

Разобрать решение по шагам

Посмотрим на первые участки

Пусть длина каждого участка равна $l$ начальная скорость — $v_1$ множитель роста — $q=1{,}03$ Первый участок проезжают за $t_1=\frac{l}{v_1}$ На втором скорость $qv_1$ поэтому $t_2=\frac{l}{qv_1}$ на третьем $t_3=\frac{l}{q^2v_1}$

Увеличилась скорость — уменьшилось время. На последнем, $2024$ -м участке множитель $q$ применён $2023$ раза:

t_{2024}=\frac{l}{q^{2023}v_1}.

Теперь закономерность ясна: $t_j=\frac{l}{v_1q^{j-1}}$

Полосы времени качественные: они показывают убывание и не задают численные отношения.

Для участка с номером $j$ $t_j=\frac{l}{v_1q^{j-1}}$ Полное время $T=t_1+\cdots+t_N$ путь $Nl$ средняя скорость $v_{\mathrm{ср}}=\frac{Nl}{T}$ .

Сложим времена как геометрическую прогрессию

Обозначим число участков через $N=2024$ Полное время равно

T=\frac{l}{v_1}\left(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+\ldots+\frac{1}{q^{N-1}}\right).

В скобках геометрическая прогрессия: её первый член равен $1$ знаменатель $r=\frac{1}{q}<1$ членов ровно $N$

Кратко выведем сумму $S_N$ В разности $S_N-rS_N$ промежуточные члены сокращаются и остаётся $1-r^N$ Поэтому

S_N(1-r)=1-r^N,\qquad S_N=\frac{1-r^N}{1-r}.

Подставляя $r=\frac{1}{q}$ получаем

T=\frac{l}{v_1}\cdot\frac{1-q^{-N}}{1-q^{-1}}.

Перейдём от времени к отношению скоростей

Полный путь равен $Nl$ средняя скорость — $\frac{Nl}{T}$ Нас спрашивают отношение к $v_1$

\frac{v_{\text{ср}}}{v_1}=\frac{\frac{Nl}{T}}{v_1}=\frac{Nl}{Tv_1}.

Вставим найденное $T$ Произведение $Tv_1$ равно $l\frac{1-q^{-N}}{1-q^{-1}}$ , поэтому длина $l$ сократится:

\frac{v_{\text{ср}}}{v_1}=\frac{N(1-q^{-1})}{1-q^{-N}}.

Подставим данные и округлим

Так как $q=1{,}03=\frac{103}{100}$ имеем $1-q^{-1}=1-\frac{100}{103}=\frac{3}{103}$ . Тогда

\frac{v_{\text{ср}}}{v_1}=\frac{2024\cdot\frac{3}{103}}{1-1{,}03^{-2024}}\approx58{,}951.

После округления средняя скорость больше начальной примерно в $59$ раз. Среднее арифметическое скоростей не подходит: на быстрых участках спортсмен проводит гораздо меньше времени.

Это идеализированная математическая модель условия. Реальный велосипедист не может повышать скорость в такой пропорции на всех $2024$ участках.

Ответ

Примерно в $59$ раз.

Главная идея

Складывать надо времена прохождения равных участков. Они образуют убывающую геометрическую прогрессию.

Как заметить эту идею в другой задаче

Равные участки и меняющиеся скорости: складывайте времена.

Возможная ошибка

Среднее арифметическое скоростей не учитывает различное время на участках.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 1 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 11 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Примечания к источнику

Рассматривается математическая модель условия; столь большой геометрический рост реальной скорости велосипедиста физически недостижим.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Средняя скорость
Геометрическая прогрессия
Степени

Приёмы решения: Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →