Тепловой насос на суточном перепаде температур

Найдём давление для полного опорожнения

Обозначим $p_0$ атмосферное давление, $V$ полный объём сосуда, $z$ высоту воды над дном сосуда, $h=0{,}5\,\text{м}$ высоту выхода трубы. Давление у дна внутри равно $p_{\text{возд}}+\rho gz$. Чтобы вода пошла наружу по заполненной трубе, нужно

Последняя порция выходит при $z\to0$. Следовательно, в конце опорожнения требуется

Рассмотрим предельный повторяющийся режим: днём пустой сосуд имеет температуру $T_{\text{д}}$, объём воздуха $V$ и давление $P$. В идеальной модели через клапаны проходит вода, а запертый воздух не уходит; его количество постоянно.

Проверим, поступит ли вода ночью

Пока сосуд ещё пуст и оба клапана закрыты, охлаждение при постоянном объёме подчиняется газовому закону $p/T=\text{const}$. К ночи давление, если вода пока не вошла, стало бы

Вода начнёт входить с уровня дна, если внутри давление ниже атмосферного:

Это равносильно

Когда вода вошла и поднялась до уровня $z_{\text{н}}$, воздух сжался до $V_{\text{н}}<V$. В равновесии у входа $p_{\text{н}}+\rho gz_{\text{н}}=p_0$, а газовый закон связывает состояния: $p_{\text{н}}V_{\text{н}}/T_{\text{н}}=PV/T_{\text{д}}$. Геометрия сосуда влияет на принятый объём, но не на порог начала подачи.

Убедимся, что днём выйдет вся вода

При нагреве входной клапан закрывается: обратное течение он не пропускает. Выпускной открывается, когда давление у дна превысит $p_0+\rho gh$. Для проверки достаточности сравним состояния при конечной дневной температуре: пока в сосуде есть вода, объём воздуха $V_{\text{возд}}\le V$. Для той же массы воздуха газовый закон даёт

А для движения через выход достаточно

Значит, нагрев до $T_{\text{д}}$ позволяет вытеснить всю принятую воду. В конце $z=0$, $V_{\text{возд}}=V$, $p_{\text{возд}}=P$: исходное дневное состояние восстановлено. Это проверка достаточности в идеальной квазистатической модели, а не утверждение о неизменности давления на всём переходе.

Проследим состояния и положения клапанов

Ниже $V$ — полный объём сосуда, $V_{\text{н}}$ — оставшийся объём воздуха после ночного заполнения. Положительный перепад температуры должен быть строго больше порогового: при точном равенстве поступающий объём стремится к нулю.

Обратные клапаны не меняют направление пропускания. Воздух не добавляется и не удаляется в принятой модели.

Вычислим достаточную температуру

Используем $T_{\text{н}}\approx278$ К, $\rho\approx1000$ кг/м$^3$ и $g\approx10$ м/с$^2$. Тогда

В принятом округлении это $t_{\text{д}}>18{,}9^\circ\text{C}$. Следовательно, дневная температура около $19^\circ\text{C}$ достаточна для ненулевой подачи в идеальной модели.