Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 10 кл., №6 — решение · финал

Условие

Ледяная горка, боковые грани которой составляют углы $\alpha=30^\circ$ и $\beta=45^\circ$ с горизонтом, находится на гладкой горизонтальной поверхности (см. рисунок). На грани $AB$ и $BC$ горки аккуратно кладут два бруска, при этом горка остается неподвижной, а бруски движутся. Трение между брусками и гранями горки отсутствует.

1) Чему равна масса бруска $2$ если масса бруска $1$ известна и равна $m$

2) Бруски меняют местами. С каким ускорением и в каком направлении в этом случае начнет двигаться горка, если ее масса $2m$

Авторская схема исходного опыта: брусок 1 на грани AB с углом α, брусок 2 на грани BC с углом β.

О задаче · 10 класс · 18 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 6

Официальные баллы18 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy5/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

В первом опыте сравните горизонтальные составляющие сил, с которыми бруски давят на неподвижную горку.

Подсказка 2

После перестановки горка ускоряется, поэтому прежние формулы $N=mg\cos\theta$ уже не подходят. Найдите нормальные реакции в системе горки.

Разобрать решение по шагам

Используем неподвижность горки в первом опыте

Пока горка неподвижна, нормальные реакции равны $N_1=mg\cos\alpha$ и $N_2=m_2g\cos\beta$ Горизонтальные силы на горку противоположны. Её неподвижность означает $N_1\sin\alpha=N_2\sin\beta$ , откуда

m_2=m\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\beta\cos\beta}=\frac{\sqrt3}{2}m.

Первый опыт: силы на двух брусках, реакции перпендикулярны граням

Учтём ускорение горки после перестановки

Выберем инерциальную систему, связанную с землёй; вправо — положительное направление. Ускорение горки обозначим $A$ После перестановки слева $m_L=\sqrt3m/2$ справа $m_R=m$ Брусок скользит относительно горки вдоль грани, поэтому относительное ускорение не имеет компоненты по нормали. Абсолютное ускорение — сумма горизонтального ускорения горки и относительного ускорения бруска. Его нормальная компонента слева равна $-A\sin\alpha$ справа — $A\sin\beta$ Проецируем второй закон Ньютона на внешние нормали:

\begin{aligned}N_L-m_Lg\cos\alpha&=-m_LA\sin\alpha,\\[0.45em]N_R-m_Rg\cos\beta&=m_RA\sin\beta.\end{aligned}

Отсюда

N_L=m_L(g\cos\alpha-A\sin\alpha),\qquad N_R=m_R(g\cos\beta+A\sin\beta).

В этих формулах используются только реальные силы: тяжесть и реакция грани. Силы инерции не вводим.

Запишем горизонтальное движение горки

По третьему закону Ньютона бруски давят на горку силами, противоположными $N_L$ и $N_R$ Их горизонтальные компоненты: слева $+N_L\sin\alpha$ справа $-N_R\sin\beta$ Вес горки и реакция пола вертикальны, поэтому

2mA=N_L\sin\alpha-N_R\sin\beta.

Подставляем найденные реакции:

\begin{aligned}2mA={}&m_Lg\cos\alpha\sin\alpha-m_LA\sin^2\alpha\\[0.45em]&-m_Rg\cos\beta\sin\beta-m_RA\sin^2\beta.\end{aligned}

Переносим оба отрицательных слагаемых с $A$ в левую часть:

A\left(2m+m_L\sin^2\alpha+m_R\sin^2\beta\right)=g\left(m_L\sin\alpha\cos\alpha-m_R\sin\beta\cos\beta\right).

Силы на горке после перестановки: давления брусков и опора пола

Определим величину и направление

Покажем обе числовые подстановки:

\begin{aligned}m_L\sin\alpha\cos\alpha-m_R\sin\beta\cos\beta&=m\left(\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac12\right)=-\frac m8,\\[0.45em]2m+m_L\sin^2\alpha+m_R\sin^2\beta&=m\left(2+\frac{\sqrt3}{8}+\frac12\right)=\frac{m(20+\sqrt3)}8.\end{aligned}

Поэтому

A=-\frac{g}{20+\sqrt3}.

Знак минус означает движение влево, к грани с углом $30^\circ$ Модуль ускорения $g/(20+\sqrt3)$ Подстановка этого $A$ в обе реакции даёт положительные значения: оба бруска продолжают контактировать с горкой.

Ответ

$m_2=\sqrt3m/2$ после перестановки $a=g/(20+\sqrt3)$ влево, к грани $30^\circ$

Главная идея

Сначала восстановить отношение масс из равновесия горки, затем учесть влияние её ускорения на нормальные реакции.

Как заметить эту идею в другой задаче

Когда опора сама начинает двигаться, реакции нужно определять заново с учётом относительных связей или силы инерции.

Возможная ошибка

После перестановки оставить реакции такими же, как у неподвижной горки, и не учесть обратное влияние движения опоры.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 12 · задача 6 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 10 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Примечания к источнику

В общей формуле официального ответа переставлены $\sin2\alpha$ и $\sin2\beta$ Правильное отношение $\frac{m_2}{m_1}=\frac{\sin2\alpha}{\sin2\beta}$ даёт напечатанное там же значение $\frac{\sqrt3}{2}$ В строке ускорения единицы должны быть $\text{м/с}^2$ а не $\text{м/с}$ Численный результат и направление в нашем разборе совпадают с итогом организатора.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Продвинутая подготовка

Законы Ньютона
проекции сил
ускорение

Приёмы решения: Уравнение сил · Относительное движение

Задать вопрос по задаче →