Среднее тангенциальное ускорение при падении

Что усредняется в условии

Тангенциальное ускорение — скорость изменения именно модуля скорости. Обозначим начальный модуль через $u$, конечный через $v$, полное время полёта через $t_f$. Тогда

Вектор ускорения всё время равен $\vec g$, но его проекция на касательную к траектории меняется. Поэтому усреднять вектор $\vec g$ вместо $a_\tau$ здесь нельзя.

Компоненты скорости и проекция ускорения

Выберем ось $x$ горизонтально, ось $y$ вниз от точки броска. В произвольный момент $t$:

Касательная направлена по вектору скорости. Доля его вертикальной компоненты равна $gt/\sqrt{u^2+g^2t^2}$, поэтому

В конце полёта $v^2=u^2+g^2t_f^2$ и $a_\tau(t_f)=g^2t_f/v$.

Применим долю 75% без скрытого преобразования

По условию

Умножаем обе части на положительное $vt_f$:

Из равенства компонент $g^2t_f^2=v^2-u^2=(v-u)(v+u)$, поэтому

За ненулевое время падения модуль скорости увеличился: $v-u>0$. Сокращаем этот множитель:

Сокращение не теряет нулевого случая: при $h>0$ равенство $v=u$ невозможно.

Найдём скорость и проверим условие

К моменту падения $h=gt_f^2/2$, откуда $g^2t_f^2=2gh$. Подставляем $v=3u$:

Берём положительный корень:

Контроль: $v=30\,\text{м/с}$, $t_f=\sqrt8\,\text{с}$. Отношение среднего ускорения к конечному равно $v(v-u)/(2gh)=30\cdot20/800=3/4$.