Составной стержень: проверяем сумму моментов

Почему тяжёлый конец остаётся на дне

Пусть общее поперечное сечение равно $S$. Массы частей:

Суммарная масса $M=\frac{39}{5}\rho Sl$ больше массы жидкости в объёме всей заготовки $7\rho Sl$. Поэтому вся заготовка не всплывёт: тяжёлый левый конец $A$ остаётся на дне. Тонкую заготовку считаем стержнем; поперечным размером при вычислении высоты пренебрегаем.

Расположим центры масс и центр вытесненного объёма

Пусть стержень составляет угол $\alpha$ с дном, а длина погружённого участка от $A$ равна $x$. Центры трёх однородных частей лежат на расстояниях $l/2$, $2l$ и $5l$ от $A$. Архимедова сила равна $F_A=\rho gSx$ и приложена в середине погружённого отрезка, на расстоянии $x/2$ от $A$. Плечи всех вертикальных сил равны соответствующим расстояниям вдоль стержня, умноженным на $\cos\alpha$. Реакция дна проходит через $A$ и момента относительно этой точки не создаёт.

Посчитаем момент, не пропуская коэффициенты

Для наклонного положения $\cos\alpha\ne0$:

После сокращения $\rho Sg\cos\alpha$:

Каждое слагаемое имеет размерность площади:

Погружённая длина не зависит от наклона. Она лежит между $3l$ и $7l$, поэтому средняя часть погружена полностью, лёгкая — частично, как предполагалось.

Перейдём к вертикальному положению по пределу

Уровень воды равен вертикальной проекции погружённой части:

По мере доливания угол увеличивается. Наклонное равновесие доходит до вертикали при $\sin\alpha\to1$, поэтому

Нельзя просто подставить $\cos\alpha=0$ в исходное равенство моментов: оно превратится в $0=0$ и потеряет условие перехода. Проверка устойчивости: при небольшом отклонении от вертикали знак поворачивающего момента задаётся разностью $\rho Sg h^2/2-(21/2)\rho Sgl^2$. Ниже найденного уровня вес перевешивает. На самой границе коэффициент при малом угле отклонения равен нулю, но при любом ненулевом малом наклоне $x=h/\sin\alpha>h=l\sqrt{21}$. Поэтому момент Архимедовой силы становится больше момента веса и возвращает стержень к вертикали. Выше границы этот возвращающий момент также присутствует. Реакция дна положительна: $Mg-F_A=\rho Sgl(39/5-\sqrt{21})>0$.