Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 10 кл., №5 — решение · финал

Условие

С идеальным одноатомным газом совершают замкнутый цикл $a-b-c-a$ показанный на рисунке в безразмерных осях $x=V/V_0$ и $y=p/p_0$ где $V_0$ и $p_0$ некоторые постоянные значения объема и давления (нам не известные). График процесса $c-a$ на рисунке изображается дугой окружности, радиус которой равен $1$ а центр находится в точке $b$ Масса газа не меняется.

1) Считаем, что КПД цикла $a-b-c-a$ известен и равен $\eta$ Найдите КПД циклов $a-c-d-a$ и $a-b-c-d-a$ Графики процессов $a-b$ и $c-d$ — прямые, параллельные оси $y$ а процессов $b-c$ и $d-a$ — прямые, параллельные оси $x$

2) Чему равно максимальное значение КПД цикла $a-b-c-a$ Рисунок условный. Цикл $a-b-c-a$ может находиться в любом месте плоскости $xy$

Точная четверть окружности и вершины трёх циклов

О задаче · 10 класс · 18 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 5

Официальные баллы18 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy5/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Работа цикла на диаграмме $pV$ равна его площади. Сравните площади четверти круга, её дополнения до квадрата и самого квадрата.

Подсказка 2

У двух циклов одинаковые участки подвода тепла. Для дуги в обратном направлении воспользуйтесь первым началом термодинамики для первого цикла.

Разобрать решение по шагам

Запишем координаты вершин и общий масштаб энергии

Положим $a=(X,Y)$ $b=(X,Y+1)$ $c=(X+1,Y+1)$ $d=(X+1,Y)$ обозначим $K=p_0V_0$ Единичные координатные расстояния следуют из радиуса дуги, равного $1$ Работа газа равна площади цикла, умноженной на $K$ Для цикла $a-b-c-a$ эта площадь равна четверти круга: $W_1=\pi K/4$ Для второго цикла $W_2=K(1-\pi/4)$ для прямоугольника $W_3=K$ Для одноатомного идеального газа $U=\frac32pV$ Это позволяет считать изменение внутренней энергии по концам каждого участка. По первому началу $Q=\Delta U+A$ положительное $A$ — работа газа при расширении, положительное $Q$ — полученная теплота.

Рассчитаем каждую ветвь

Все величины в таблице поделены на общий положительный масштаб $K=p_0V_0$ На вертикальном участке объём постоянен и $A=0$ на горизонтальном $A=p\Delta V$ Под дугой $a\to c$ площадь равна площади прямоугольника высоты $Y+1$ минус четверть круга:

\frac{A_{ac}}K=Y+1-\frac\pi4.

Обозначим $B=\frac32X+\frac52(Y+1)$ Тогда:

Участок	$A/K$	$\Delta U/K$	$Q/K$
$a\to b$	$0$	$\frac32X$	$\frac32X>0$
$b\to c$	$Y+1$	$\frac32(Y+1)$	$\frac52(Y+1)>0$
$c\to a$	$\frac\pi4-Y-1$	$-\frac32(X+Y+1)$	$\frac\pi4-B<0$
$a\to c$	$Y+1-\frac\pi4$	$\frac32(X+Y+1)$	$B-\frac\pi4>0$
$c\to d$	$0$	$-\frac32(X+1)$	$-\frac32(X+1)<0$
$d\to a$	$-Y$	$-\frac32Y$	$-\frac52Y<0$

На дуге $a\to c$ и $x$ и $y$ возрастают. Поэтому на каждом малом участке одновременно возрастают $pV$ и $V$ газ увеличивает внутреннюю энергию и совершает положительную работу. Следовательно, тепло подводится на всей дуге; на обратной дуге оно везде отводится. Здесь знак не меняется в середине, поэтому табличную теплоту можно целиком включать в нужную сумму.

Вертикальные ветви не совершают работу; криволинейная площадь сохранена точно.

Найдём подведённую теплоту первого цикла

На изохоре $a-b$ газ нагревается и получает $Q_{ab}=3KX/2$ На изобаре $b-c$ он получает $Q_{bc}=5K(Y+1)/2$ На дуге $c-a$ одновременно уменьшаются давление, объём и температура, газ отдаёт тепло. Поэтому

Q_1=\frac K2\bigl(3X+5Y+5\bigr),\qquad \eta=\frac{W_1}{Q_1}.

Свяжем теплоту и КПД остальных циклов

В цикле $a-c-d-a$ тепло подводится только на дуге $a-c$ Оно равно модулю тепла, отданного на обратной дуге первого цикла. Из первого начала для первого цикла $Q_2=Q_1-W_1=Q_1(1-\eta)$ Следовательно,

\eta_2=\frac{W_2}{Q_2}=\frac{4-\pi}{\pi}\frac{\eta}{1-\eta}.

В прямоугольном цикле положительная теплота подводится на тех же участках $a-b$ и $b-c$ поэтому $Q_3=Q_1$ и

\eta_3=\frac4\pi\eta.

Найдём верхнюю границу первого КПД

Из найденных выражений

\eta=\frac{\pi}{2(3X+5Y+5)}.

В физической области давление и объём положительны: $X>0$ $Y>0$ Поэтому $\eta<\pi/10$ При приближении вершины $a$ к началу координат из области положительных координат эта граница приближается сколь угодно близко. Предельный максимальный КПД равен $\pi/10\approx31{,}4\%$ невырожденный цикл с положительными давлением и объёмом имеет строго меньший КПД.

Ответ

$\eta_{a-c-d-a}=\frac{4-\pi}{\pi}\frac{\eta}{1-\eta}$ ; $\eta_{a-b-c-d-a}=\frac4\pi\eta$ . Предельный максимум $\pi/10\approx31{,}4\%$

Главная идея

Сравнить площади циклов и связать теплоту на общей дуге через энергетический баланс, не вычисляя интеграл вдоль дуги.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если циклы разделяют одни и те же участки диаграммы, сначала сравните их работы и общие потоки тепла.

Возможная ошибка

Считать КПД пропорциональным одной площади, не проверив, меняется ли подведённое тепло.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 9 · задача 5 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 10 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Продвинутая подготовка

Уравнение состояния
первый закон термодинамики
график p(V)

Приёмы решения: Первый закон для цикла · Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →