Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 10 кл., №3 — решение · финал

Условие

Астероид имеет форму однородного шара радиуса $R$ На полюсе астероида прорыли глубокую скважину, направленную к центру астероида, и на глубине $h=R/2$ установили пусковую установку. Какую минимальную начальную скорость должна иметь ракета, запущенная вертикально вверх с помощью этой пусковой установки, чтобы подняться над поверхностью астероида на высоту $H=R/2$ Считать, что первая космическая скорость при старте с поверхности этого астероида, известна и равна $V_I=360$ м/с. Для справки: объем шара радиусом $R$ вычисляется по формуле $V=\frac43\pi R^3$ площадь поверхности шара $S=4\pi R^2$

Астероид и заданные радиусы начала, поверхности и конца подъёма

О задаче · 10 класс · 14 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллы14 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy5/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Разделите путь на участок внутри шара и участок снаружи. Одинаков ли закон изменения силы тяжести на этих участках?

Подсказка 2

Внутри однородного шара поле пропорционально расстоянию от центра, снаружи действует закон обратных квадратов. Найдите суммарную работу против тяжести.

Разобрать решение по шагам

Разделим подъём на внутренний и внешний участки

Ракета стартует на расстоянии $R/2$ от центра и должна достичь $3R/2$ Для минимальной начальной скорости её скорость в верхней точке равна нулю. Поэтому начальная кинетическая энергия на единицу массы должна равняться приросту гравитационной потенциальной энергии.

Найдём работу против тяжести внутри астероида

Обозначим плотность астероида через $\rho$ массу всего шара через $M$ а ускорение у поверхности через $g_0=GM/R^2$ Используем свойство сферических слоёв: внутри симметричной оболочки её суммарное поле равно нулю, а масса под радиусом $r$ действует как точечная в центре. Поэтому

M(r)=\rho\frac{4\pi r^3}{3}=M\frac{r^3}{R^3}.

Закон тяготения даёт

g(r)=\frac{GM(r)}{r^2}=\frac{GM}{R^2}\frac rR=g_0\frac rR.

От $R/2$ до $R$ поле линейно растёт от $g_0/2$ до $g_0$ Если разбить путь на маленькие отрезки, работа против тяжести на каждом примерно равна $mg(r)\Delta r$ После деления на $m$ сумма — площадь под графиком $g(r)$ Здесь это трапеция:

\frac{W_{\text{внутр}}}{m}=\frac{g_0/2+g_0}{2}\cdot\frac R2=\frac38g_0R.

Единицы площади — $\text{м}^2/\text{с}^2=\text{Дж/кг}$ . Сама сила тяжести при подъёме совершает отрицательную работу.

Закрашены оба участка работы против тяжести на единицу массы: слева от

r=R

— трапеция внутри астероида; справа — криволинейная площадь внешнего участка. Их складываем в следующем шаге.

Добавим внешний участок

Снаружи $g(r)=GM/r^2=g_0R^2/r^2$ при $r=R$ оба закона дают $g_0$ то есть график непрерывен. Внешний участок криволинеен: заменять площадь треугольником нельзя. Используем потенциальную энергию $U(r)=-GMm/r$ (нулевой уровень выбран на бесконечности). Её разность для двух радиусов равна работе против притяжения:

\begin{aligned}\frac{W_{\text{внеш}}}{m}&=GM\left(\frac1R-\frac1{3R/2}\right)\\[0.45em]&=GM\left(\frac1R-\frac2{3R}\right)=\frac{GM}{3R}=\frac13g_0R.\end{aligned}

Это стандартная формула гравитационной энергии снаружи шара; внутри её применять нельзя. Складываем обе положительные затраты:

\frac{u^2}{2}=\left(\frac38+\frac13\right)g_0R=\frac{17}{24}g_0R.

Выразим результат через первую космическую скорость

Для круговой орбиты у поверхности $V_I^2=g_0R$ Значит,

u=V_I\sqrt{\frac{17}{12}}=360\sqrt{\frac{17}{12}}=60\sqrt{51}\ \text{м/с}\approx428{,}5\ \text{м/с}.

Ответ

$60\sqrt{51}$ м/с, или примерно $428{,}5$ м/с.

Главная идея

Сложить изменения потенциальной энергии внутри и снаружи однородного шара и выразить масштаб через первую космическую скорость.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если движение пересекает поверхность сферического тела, закон поля нужно выбирать отдельно для каждой части пути.

Возможная ошибка

Считать ускорение свободного падения постоянным на всём пути или применять внешнее поле $GM/r^2$ внутри вещества.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 5 · задача 3 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 10 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Энергия и импульс →

Тема, знания и приёмы

Энергия и импульс · Продвинутая подготовка

Кинетическая и потенциальная энергия
импульс

Приёмы решения: Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →