Шаг в будущее

Камень, брошенный горизонтально с вершины холма высотой $h=40$ м, летит по параболе и падает на землю. Оказалось, что величина модуля среднего тангенциального ускорения камня за время его полета составила $75\%$ от значения модуля вектора тангенциального ускорения камня в момент падения его на землю. С какой начальной скоростью бросили камень с вершины холма? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.

В герметичном сосуде объемом $V=5$ л находится некоторое количество воды ($\mathrm{H_2O}$) при давлении $p=10^5$ Па. Никаких других веществ, кроме воды, в сосуде нет. Воду из сосуда откачивают при неизменной температуре сосуда и его содержимого. Когда откачали $\Delta m=3{,}55$ г воды, давление в сосуде уменьшилось в $2$ раза. Какое общее количество воды было первоначально в сосуде?

Астероид имеет форму однородного шара радиуса $R$. На полюсе астероида прорыли глубокую скважину, направленную к центру астероида, и на глубине $h=R/2$ установили пусковую установку. Какую минимальную начальную скорость должна иметь ракета, запущенная вертикально вверх с помощью этой пусковой установки, чтобы подняться над поверхностью астероида на высоту $H=R/2$? Считать, что первая космическая скорость при старте с поверхности этого астероида, известна и равна $V_I=360$ м/с. Для справки: объем шара радиусом $R$ вычисляется по формуле $V=\frac43\pi R^3$, площадь поверхности шара $S=4\pi R^2$.

Тонкая цилиндрическая заготовка, состоящая из трех частей, лежит на дне широкого сосуда, который медленно заполняется жидкостью плотности $\rho$. Площадь поперечного сечения всех трех частей заготовки одинакова. Левая часть цилиндра длиной $l$ сделана из материала плотности $5\rho$, средняя длиной $2l$ — из материала плотности $\rho$, крайняя правая длиной $4l$ — из материала плотности $\rho/5$. Определите минимальную высоту уровня жидкости в сосуде, при которой заготовка займет вертикальное положение.

С идеальным одноатомным газом совершают замкнутый цикл $a-b-c-a$, показанный на рисунке в безразмерных осях $x=V/V_0$ и $y=p/p_0$, где $V_0$ и $p_0$ некоторые постоянные значения объема и давления (нам не известные). График процесса $c-a$ на рисунке изображается дугой окружности, радиус которой равен $1$, а центр находится в точке $b$. Масса газа не меняется.

1) Считаем, что КПД цикла $a-b-c-a$ известен и равен $\eta$. Найдите КПД циклов $a-c-d-a$ и $a-b-c-d-a$. Графики процессов $a-b$ и $c-d$ — прямые, параллельные оси $y$, а процессов $b-c$ и $d-a$ — прямые, параллельные оси $x$.

2) Чему равно максимальное значение КПД цикла $a-b-c-a$? Рисунок условный. Цикл $a-b-c-a$ может находиться в любом месте плоскости $xy$.

Ледяная горка, боковые грани которой составляют углы $\alpha=30^\circ$ и $\beta=45^\circ$ с горизонтом, находится на гладкой горизонтальной поверхности (см. рисунок). На грани $AB$ и $BC$ горки аккуратно кладут два бруска, при этом горка остается неподвижной, а бруски движутся. Трение между брусками и гранями горки отсутствует.

1) Чему равна масса бруска $2$, если масса бруска $1$ известна и равна $m$?

2) Бруски меняют местами. С каким ускорением и в каком направлении в этом случае начнет двигаться горка, если ее масса $2m$?

Термический насос может перекачивать воду с минимальными затратами энергии, используя суточные колебания температуры окружающей среды. Он представляет собой герметичный сосуд, снабженный двумя односторонними клапанами, способными пропускать воду только в одном направлении (входным и выпускным), установленными на уровне дна. Сосуд заполнен воздухом. Источник воды располагается на уровне входного клапана, а выходное отверстие трубы, подсоединённой к выпускному клапану, далее поднимается на высоту $0{,}5$ м.

Определите достаточную для выполнения полного цикла работы насоса дневную температуру, если ночная температура составила $5^\circ\text{C}$. Атмосферное давление считайте постоянным, равным $10^5$ Па. Температура сосуда равна температуре окружающей среды. Считайте, что воды в сосуде не остаётся после завершения каждого цикла работы устройства.