Физтех 2026/27 · Физика · 11 кл., №8 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Заряженная бусинка с удельным зарядом $30$ [мкКл/кг] может двигаться без трения по диэлектрическому кольцу радиуса $0{,}25$ [м], расположенному в вертикальной плоскости (см. рис.). Кольцо находится в вертикальном электрическом поле, напряжённость которого меняется по закону, представленному на графике (см. рис.). $E_{\text{В}} = 0{,}5$ [МВ/м] — напряжённость в верхней точке кольца. Найдите модуль минимальной скорости $|V|$ которую следует сообщить бусинке, чтобы она достигла верхней точки кольца. Ответ приведите в [м/с] и округлите до сотых. Ускорение свободного падения $10$ [м/с $^2$ ]. Поляризационными эффектами, сопротивлением и ионизацией воздуха пренебречь.

Дано: $\dfrac{q}{m} = 30$ мкКл/кг $= 3\cdot10^{-5}$ Кл/кг; $R = 0{,}25$ м; $E_{\text{В}} = 0{,}5$ МВ/м $= 5\cdot10^{5}$ В/м — напряжённость в верхней точке ( $y = 2R$ ); поле вертикальное, направлено вверх, $E_y(y)$ растёт линейно от нуля в нижней точке кольца; бусинка положительная, стартует из нижней точки; $g = 10$ м/с $^2$ Найти: $V_{\min}$ (м/с, до сотых).

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Где узкое место: вершина или точка равновесия?

Как меняется нижний порог скорости, если усиливать поле $E_{\text{В}}$ менять радиус $R$ или удельный заряд $q/m$ При каком поле «горка» $U(y)$ уходит с вершины кольца внутрь него?

Удельный заряд q/m, мкКл/кгРадиус кольца R, мПоле в верхней точке Eв, МВ/м

Модель загружается…

Модель берёт закон поля $E_y = E_{\text{В}}\cdot y/(2R)$ и формулу для $V_{\min}$ из решения, а излом показывает по условию $qE_{\text{В}} = mg$ — уравнение движения она не решает. Наивная оценка «до вершины» падает до нуля, когда $U(2R) \le 0$ по её логике толкать бусинку не нужно, но горка ниже вершины всё равно требует скорости. При V = Vпорог движение лишь асимптотически приближается к барьеру; проход за конечное время требует V > Vпорог. Статичный график не показывает проход при равенстве.

Попробуйте сами. Силы тяжести и электрическая обе вертикальны, трения нет, так что напрашивается закон сохранения энергии. Но прежде чем писать его «от низа до верха», спросите себя: в какой точке кольца бусинке труднее всего? Обязательно ли это верхняя точка?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Реакция кольца перпендикулярна скорости и работы не совершает, а сила тяжести и электрическая сила вертикальны — их работа зависит только от высоты $y$ Значит, движение описывается одной «потенциальной энергией» $U(y)$ и бусинка должна преодолеть самую высокую точку этой «горки». Электрическая сила $qE(y)$ растёт с высотой, а $mg$ постоянна: сравните их в верхней точке кольца и подумайте, где по пути $U(y)$ перестаёт расти.

Подсказка 2

Работа электрической силы при подъёме на высоту $y$ — площадь под графиком $qE(y)$ то есть площадь треугольника:

A_{\text{эл}} = \dfrac{1}{2}\,qE(y)\,y = \dfrac{qE_{\text{В}}\,y^2}{4R}.

Запишите

U(y) = mgy - \dfrac{qE_{\text{В}}\,y^2}{4R},

найдите высоту $y^*$ где $qE(y^*) = mg$ и проверьте, попадает ли она в отрезок $0 \le y \le 2R$

Разобрать решение по шагам

Принятые допущения

Бусинка надета на кольцо и не может его покинуть (реакция любого знака), поэтому условие $N \ge 0$ не накладывается.
Закон поля $E_y(y) = E_{\text{В}}\cdot y/(2R)$ — прямая через начало координат, прочитана с графика в условии (значение $E_{\text{В}}$ при $y = 2R$ ).
Минимальная скорость понимается как нижняя грань: при $V = V_{\min}$ бусинка лишь асимптотически приближается к точке неустойчивого равновесия $y^*$ и не проходит её за конечное время.

Шаг 1. Какие силы работают и чему равна их работа

На бусинку действуют три силы: тяжесть $m\vec g$ (вниз), электрическая $q\vec E$ (вверх, поле направлено вверх, заряд положительный) и реакция кольца $\vec N$ (вдоль радиуса). Трения нет, поэтому $\vec N \perp \vec v$ и реакция работы не совершает. Две оставшиеся силы вертикальны, их работа зависит только от высоты $y$ — задача сводится к закону сохранения энергии с эффективной потенциальной энергией $U(y)$

Поле неоднородно: по графику $E_y(y) = E_{\text{В}}\dfrac{y}{2R}$ (прямая через начало координат, значение $E_{\text{В}}$ при $y = 2R$ ). Работа электрической силы при подъёме от $0$ до $y$ — площадь треугольника под графиком силы $qE(y)$

A_{\text{эл}}(y) = \dfrac{1}{2}\,qE(y)\,y = \dfrac{qE_{\text{В}}\,y^{2}}{4R}.

Эта работа положительна (поле помогает подъёму), работа тяжести равна $-mgy$ Потенциальная энергия, отсчитанная от нижней точки:

U(y) = mgy - \dfrac{qE_{\text{В}}\,y^{2}}{4R}, \qquad 0 \le y \le 2R.

Силы на бусинку в произвольной точке кольца (слева) и графики сил от высоты (справа):

mg

постоянна,

qE(y)

растёт линейно; работа электрической силы на подъёме до произвольной высоты

y

— площадь закрашенного треугольника под прямой

qE(y)

Шаг 2. Где бусинке труднее всего: ищем вершину «горки» $U(y)$

Бусинка достигнет верха, если её кинетической энергии хватит, чтобы пройти точку с наибольшим $U$ на пути. В однородном поле это была бы верхняя точка, но здесь $U(y)$ — парабола ветвями вниз, и её вершина может оказаться ниже $2R$

Максимум $U$ там, где производная обращается в ноль:

\dfrac{dU}{dy} = mg - qE(y) = 0,

то есть электрическая сила уравновешивает тяжесть:

qE_{\text{В}}\dfrac{y^*}{2R} = mg \quad\Longrightarrow\quad y^* = \dfrac{2mgR}{qE_{\text{В}}}.

Подставляем числа. Электрическое ускорение в верхней точке

\dfrac{q}{m}E_{\text{В}} = 3\cdot10^{-5}\cdot 5\cdot10^{5} = 15\ \text{м/с}^2 > g,

значит

y^* = \dfrac{2\cdot 10 \cdot 0{,}25}{15} = \dfrac{1}{3}\ \text{м}.

Это $\dfrac{4R}{3}$ — меньше, чем $2R = 0{,}5$ м. Точка $y^*$ лежит на кольце выше центра, но ниже вершины. Выше $y^*$ электрическая сила уже больше $mg$ и сама «тянет» бусинку к верхней точке. Значит, узкое место — не вершина, а высота $y^*$ бусинка пройдёт её за конечное время, только если скорость в этой точке положительна. При точном пороговом значении начальной скорости она лишь асимптотически приближается к неустойчивому равновесию $y^*$ бусинка, помещённая туда в покое, сама движение не начнёт.

Шаг 3. Закон сохранения энергии от нижней точки до $y^*$

Под «минимальной скоростью» здесь понимаем нижний порог $V_{\text{порог}}$ (ниже сохраняем обозначение $V_{\min}$ из привычной записи ответа). Пороговая энергия равна вершине потенциального барьера:

\dfrac{mV_{\min}^{2}}{2} = U(y^*) = mgy^* - \dfrac{qE_{\text{В}}\,(y^*)^{2}}{4R}.

Подставим $y^* = \dfrac{2mgR}{qE_{\text{В}}}$ . Второе слагаемое:

\dfrac{qE_{\text{В}}}{4R}\cdot\dfrac{4m^{2}g^{2}R^{2}}{q^{2}E_{\text{В}}^{2}} = \dfrac{m^{2}g^{2}R}{qE_{\text{В}}}.

Первое слагаемое

mgy^* = \dfrac{2m^{2}g^{2}R}{qE_{\text{В}}},

поэтому

U(y^*) = \dfrac{m^{2}g^{2}R}{qE_{\text{В}}} = \dfrac{mgy^*}{2}.

Отсюда

V_{\min} = g\sqrt{\dfrac{2mR}{qE_{\text{В}}}} = \sqrt{g\,y^*}

(эта формула верна при $qE_{\text{В}} > mg$ ). Полезно заметить: на участке от $0$ до $y^*$ электрическая сила совершает ровно половину работы против тяжести:

A_{\text{эл}}(y^*) = \dfrac{mgy^*}{2}

(площадь треугольника с высотой $mg$ и основанием $y^*$ ). Поэтому бусинке нужно «привезти» только вторую половину $mgy^*$

«Горка»

U(y)/m

для данных варианта: максимум

5/3

Дж/кг на высоте

y^* = 1/3

м, а на вершине кольца только

1{,}25

Дж/кг. Красная стрелка — энергия

V_{\min}^2/2

на единицу массы, которую нужно сообщить бусинке: она задаёт нижний порог. При точном равенстве бусинка приближается к вершине горки асимптотически; для прохода энергия должна быть строго больше.

Шаг 4. Подстановка чисел и округление

V_{\min} = 10\cdot\sqrt{\dfrac{2\cdot 0{,}25}{3\cdot10^{-5}\cdot 5\cdot10^{5}}} = 10\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}5}{15}} = \sqrt{\dfrac{10}{3}} \approx 1{,}826\ \text{м/с}.

По условию округляем нижний порог до сотых: $V_{\text{порог}} \approx 1{,}83$ м/с. Для прохода за конечное время необходимо строго $V > \sqrt{10/3}$ м/с; при точном равенстве время приближения к $y^*$ неограниченно растёт.

Для контроля сравним с энергией в самой верхней точке:

\dfrac{U(2R)}{m} = 2gR - \dfrac{q}{m}E_{\text{В}}R = 5 - 3{,}75 = 1{,}25\ \text{Дж/кг},

а на высоте $y^*$

\dfrac{U(y^*)}{m} = \dfrac{g\,y^*}{2} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\ \text{Дж/кг}.

«Горка» на высоте $y^* = 1/3$ м действительно выше, чем вершина кольца, — именно её и нужно преодолеть.

Шаг 5. Когда работает другая формула

Если бы в верхней точке электрическая сила не превышала тяжесть ( $qE_{\text{В}} \le mg$ ), точка равновесия $y^* = \dfrac{2mgR}{qE_{\text{В}}}$ оказалась бы на вершине кольца или выше неё, $U(y)$ росла бы на всём пути, и узким местом была бы вершина:

V_{\min} = \sqrt{\dfrac{2U(2R)}{m}} = \sqrt{2R\left(2g - \dfrac{q}{m}E_{\text{В}}\right)}.

На границе $qE_{\text{В}} = mg$ обе формулы дают $\sqrt{2gR}$ — решение «сшивается» без скачка. В нашем варианте электрическое ускорение наверху $15$ м/с $^2$ больше $g = 10$ м/с $^2$ поэтому используется формула шага 3.

Проверка

Размерность. Электрическое ускорение $\tfrac{q}{m}E_{\text{В}}$ измеряется в

\dfrac{\text{Кл}}{\text{кг}}\cdot\dfrac{\text{В}}{\text{м}} = \dfrac{\text{Н}}{\text{кг}} = \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2},

поэтому ответ $V_{\min} = g\sqrt{2R\,/\,(qE_{\text{В}}/m)}$ имеет размерность

\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}\cdot\sqrt{\dfrac{\text{м}}{\text{м/с}^2}} = \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}\cdot\text{с} = \dfrac{\text{м}}{\text{с}}.

Предельные случаи. При $qE_{\text{В}} = mg$ формула шага 3 и формула для вершины обе дают $\sqrt{2gR}$ — стыковка непрерывна. При $E_{\text{В}} \to 0$ формула вершины переходит в известный ответ $2\sqrt{gR}$ для кольца без поля.

Второй способ — численный. Уравнение движения бусинки по кольцу ( $\theta$ — угол, отсчитанный от нижней точки):

R\ddot\theta = \sin\theta\cdot\bigl(a(\theta) - g\bigr),

где электрическое ускорение на текущей высоте

a(\theta) = \dfrac{q}{m}E_{\text{В}}\cdot\dfrac{1-\cos\theta}{2}.

Численное интегрирование даёт порог достижения верха $V = 1{,}8257$ м/с — совпадает с $\sqrt{10/3}$ до шестого знака. При $V = 1{,}825$ м/с бусинка останавливается ниже $y^*$ и возвращается, при $V = 1{,}827$ м/с проходит вершину.

Ответ

$V_{\text{порог}} = \sqrt{10/3} \approx 1{,}83$ м/с — округлённый нижний порог. За конечное время бусинка проходит барьер при $V > V_{\text{порог}}$

Главная идея

Все работающие силы вертикальны, поэтому движение по кольцу описывается одной функцией

U(y) = mgy - \dfrac{qE_{\text{В}}\,y^2}{4R}.

Нижний порог скорости определяется не верхней точкой, а максимумом $U(y)$ — высотой $y^*$ где электрическая сила уравновешивает тяжесть; после прохода этой высоты с положительной скоростью поле помогает добраться до вершины.

Связь без трения + силы, работа которых зависит от одной координаты + сила, растущая с высотой (линейное поле, пружина, ток в проводе) — признак задачи «на потенциальную горку»: сначала постройте $U(y)$ найдите, где $dU/dy = 0$ и только потом пишите закон сохранения энергии до этой точки, а не до конца пути. Работа силы, линейно зависящей от координаты, — площадь треугольника под её графиком.

Где легко ошибиться

Записать закон сохранения энергии сразу между нижней и верхней точками:

\dfrac{mV^2}{2} = 2mgR - qE_{\text{В}}R

(работа поля до вершины — площадь треугольника под графиком силы: $\tfrac{1}{2}\,qE_{\text{В}}\cdot 2R$ ), откуда

V = \sqrt{2R\left(2g - \dfrac{q}{m}E_{\text{В}}\right)} = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}58\ \text{м/с}.

С такой скоростью бусинка остановится на высоте $y < y^* = 4R/3$ и скатится назад: её кинетическая энергия там уже исчерпана, хотя до вершины «по энергии» хватило бы. Физическая причина: при $qE_{\text{В}} > mg$ потенциальная энергия на пути проходит через максимум ниже вершины, и именно этот максимум, а не конечная точка, определяет порог.

Источник и авторство

Физтех · физика · 11 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 8.1 (ID 5937).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Электростатика · Продвинутая подготовка

Работа неоднородного поля
Потенциальная энергия
Максимум функции

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →