Физтех 2026/27 · Физика · 11 кл., №6 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

С идеальным одноатомным газом совершают процесс $1-2$ На графике (см. рис.) представлена линейная зависимость $y = P/P_0$ от $x = V/V_0$ Здесь $V$ и $P$ — объём и давление газа, $V_0$ и $P_0$ — некоторые объём и давление. Координаты состояний $1$ и $2$ процесса: $x_1 = 2$ $y_1 = 2$ $x_2 = 4$ $y_2 = 1$ Найдите отношение количества теплоты, подведённой к газу на участке процесса, где теплоёмкость газа отрицательная, к работе газа во всём процессе. Ответ округлите до сотых.

Дано: Одноатомный идеальный газ ( $C_V = \dfrac{3}{2}\nu R$ $U = \dfrac{3}{2}PV$ ). Процесс — отрезок прямой в координатах $x = V/V_0$ $y = P/P_0$ от точки $1\,(x_1 = 2;\ y_1 = 2)$ к точке $2\,(x_2 = 4;\ y_2 = 1)$ Найти $\dfrac{Q_-}{A_{12}}$ где $Q_-$ — теплота, подведённая на участке с $C < 0$ $A_{12}$ — работа газа во всём процессе.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Где у линейного процесса отрицательная теплоёмкость

Двигайте начало отрезка 1–2, его длину по оси $x$ и давления на концах и смотрите, как смещаются точка максимума температуры $x_T$ адиабатическая точка $x_Q$ и как меняется доля теплоты $Q_-/A$ подведённой на участке с отрицательной теплоёмкостью.

x₁ = V₁/V₀ (начало процесса)y₁ = P₁/P₀Δx = x₂ − x₁ (длина процесса по объёму)y₂ = P₂/P₀Ход демонстрации

Статичный режим

Модель загружается…

Модель использует выведенные в решении формулы xT = −a/(2k), xQ = −5a/(8k) и Q₋ = ∫(2,5a + 4kx)dx для одноатомного газа при расширении (x2 > x1); анимация и столбики лишь иллюстрируют знаки δQ и dT, а не доказывают их. Реальное время процесса не задано: 6 секунд — только условная длительность демонстрации, положение показано как процент пути. Штриховка под p–V-кривой означает работу на участке (при исходных данных 0,984375 P₀V₀), а Q₋ = 0,5625 P₀V₀. Столбик Q показывает алгебраическую суммарную теплоту от начала, включая отвод со знаком минус. В xT теплоёмкость не определена, в xQ она равна нулю.

Попробуйте сами: напишите уравнение прямой $y(x)$ выясните, на каком отрезке температура газа падает, а на каком тепло всё ещё подводится, и найдите пересечение этих условий. Только после этого считайте интеграл.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Теплоёмкость $C = \dfrac{\delta Q}{dT}$ отрицательна там, где $\delta Q$ и $dT$ имеют разные знаки. Значит, нужно отдельно проследить за знаком $dT$ (через $PV \propto T$ ) и за знаком $\delta Q$ (через первое начало термодинамики $\delta Q = dU + P\,dV$ ) вдоль прямой.

Подсказка 2

Прямая через точки $(2;2)$ и $(4;1)$ $y = 3 - \dfrac{x}{2}$ Выразите через $x$ обе величины: $PV = P_0V_0\,xy$ и $\delta Q = \dfrac{3}{2}\,d(PV) + P\,dV$ на малом шаге $dx$ Получатся две линейные по $x$ функции; найдите, где каждая из них меняет знак.

Разобрать решение по шагам

Уравнение процесса

По двум точкам находим прямую. Наклон

k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{1 - 2}{4 - 2} = -\dfrac{1}{2},

поэтому $y = 2 - \dfrac{1}{2}(x - 2)$ , то есть

y = 3 - \dfrac{x}{2},

P = P_0\left(3 - \dfrac{V}{2V_0}\right).

Дальше всё считаем в единицах $P_0V_0$ это удобно, потому что и работа, и теплота, и $PV$ выражаются через $x$ и $y$ умножением на $P_0V_0$

Где температура растёт, а где падает

Для идеального газа $T = \dfrac{PV}{\nu R}$ так что знак $dT$ совпадает со знаком $d(PV)$ Вдоль прямой $PV = P_0V_0\,xy$ где

xy = x\left(3 - \dfrac{x}{2}\right) = 3x - \dfrac{x^2}{2},

\dfrac{d(PV)}{dx} = P_0V_0\,(3 - x).

Так как объём в процессе только увеличивается ( $dx > 0$ ), знак $dT$ определяется знаком $(3 - x)$ при $x < 3$ температура растёт, при $x > 3$ — падает. Точка $x_T = 3$ — максимум температуры, там $xy = 3\cdot 1{,}5 = 4{,}5$ . Во всех остальных точках прямой $xy < 4{,}5$ значит, прямая лежит под изотермой $xy = 4{,}5$ и имеет с ней ровно одну общую точку — касается её при $x = 3$

Где тепло подводится, а где отводится

Первое начало термодинамики: $\delta Q = dU + \delta A$ Для одноатомного газа $U = \dfrac{3}{2}\nu RT = \dfrac{3}{2}PV$ , а $\delta A = P\,dV$ Поэтому

\delta Q = \dfrac{3}{2}\,d(PV) + P\,dV.

Оба слагаемых выражаем через $x$ на малом шаге $dx$

\dfrac{3}{2}\,d(PV) = \left(\dfrac{9}{2} - \dfrac{3x}{2}\right)P_0V_0\,dx,

P\,dV = \left(3 - \dfrac{x}{2}\right)P_0V_0\,dx.

Складываем: свободные члены дают $\dfrac{9}{2} + 3 = \dfrac{15}{2}$ , члены с $x$ дают $\dfrac{3x}{2} + \dfrac{x}{2} = 2x$ . Поэтому

\delta Q = \left(\dfrac{15}{2} - 2x\right)P_0V_0\,dx.

Скобка обращается в нуль при $x_Q = \dfrac{15}{4} = 3{,}75$ : при $x < 3{,}75$ тепло подводится, при $x > 3{,}75$ — отводится. Теплоёмкость $C = \dfrac{\delta Q}{dT}$ отрицательна там, где знаки $\delta Q$ и $dT$ разные. Сравниваем знаки на трёх участках:

$2 < x < 3$ тепло подводится и $T$ растёт, $C > 0$
$3 < x < 3{,}75$ тепло подводится, но $T$ падает — именно здесь $C < 0$
$3{,}75 < x < 4$ тепло отводится и $T$ падает, $C > 0$

Участок отрицательной теплоёмкости открыт: $3 < x < 3{,}75$ В точке $x = 3$ имеем $dT/dx=0$ но $\delta Q/dx \ne 0$ поэтому $C$ не определена. При $x = 3{,}75$ имеем $\delta Q/dx=0$ и $dT/dx\ne0$ поэтому $C=0$

Три участка прямой 1–2: до

x_T = 3

температура растёт и тепло подводится (

C > 0

); между

x_T = 3

x_Q = 3{,}75

температура падает, но тепло ещё подводится (

C < 0

красный участок); после

x_Q

тепло отводится (

C > 0

). Пунктир — изотерма максимальной температуры, касающаяся прямой в точке

x = 3

Граничные точки исключены: в xT теплоёмкость не определена, в xQ равна нулю.

Теплота на участке с отрицательной теплоёмкостью

Интегрируем найденное выражение для $\delta Q$ по этому участку. Включение отдельных граничных точек не меняет интеграл, хотя они не принадлежат области $C<0$

Q_- = P_0V_0\int_{3}^{3{,}75}\left(\dfrac{15}{2} - 2x\right)dx.

Первообразная подынтегральной функции — $\dfrac{15}{2}x - x^2$ Её значения на концах:

при $x = 3{,}75$ $28{,}125 - 14{,}0625 = 14{,}0625$ ;
при $x = 3$ $22{,}5 - 9 = 13{,}5$

Разность:

Q_- = (14{,}0625 - 13{,}5)\,P_0V_0

= 0{,}5625\,P_0V_0.

Геометрически (см. график после этого шага) это площадь треугольника под прямой $\dfrac{\delta Q}{dx} = \left(\dfrac{15}{2} - 2x\right)P_0V_0$ между $x_T = 3$ и её нулём $x_Q = 3{,}75$ Основание треугольника $3{,}75 - 3 = 0{,}75$ высота — значение $\dfrac{15}{2} - 2x$ при $x = 3$

\dfrac{15}{2} - 2\cdot 3 = 1{,}5,

S = \dfrac{1}{2}\cdot 0{,}75\cdot 1{,}5 = 0{,}5625.

Независимая проверка через $\Delta U + A$ на этом участке — в разделе «Проверка».

Графики

\delta Q/dx = (7{,}5 - 2x)P_0V_0

(красная прямая) и

d(PV)/dx = (3 - x)P_0V_0

(синяя пунктирная) вдоль процесса. Нули лежат в разных точках:

x = 3

x = 3{,}75

Между ними красная прямая ещё положительна (

\delta Q > 0

), а синяя уже отрицательна (

dT < 0

) — это участок

C < 0

заштрихованный треугольник под красной прямой (основание

0{,}75

высота

1{,}5

) равен

Q_- = 0{,}5625\,P_0V_0

Работа газа во всём процессе

Работа — площадь трапеции под отрезком $1\!-\!2$ в координатах $P$ – $V$

A_{12} = P_0V_0\,\dfrac{y_1 + y_2}{2}\,(x_2 - x_1)

= P_0V_0\,\dfrac{2 + 1}{2}\cdot 2 = 3\,P_0V_0.

Это же получается интегрированием:

\int_2^4\left(3 - \dfrac{x}{2}\right)dx = \left[3x - \dfrac{x^2}{4}\right]_2^4

= 8 - 5 = 3.

Ответ

Из шага 4 $Q_- = 0{,}5625\,P_0V_0 = \dfrac{9}{16}P_0V_0$ , из шага 5 $A_{12} = 3P_0V_0$ Делим:

\dfrac{Q_-}{A_{12}} = \dfrac{9/16}{3} = \dfrac{3}{16}

= 0{,}1875 \approx 0{,}19.

Округляем до сотых, как требует условие: $\mathbf{0{,}19}$

*Для любопытных (необязательно).* Если повторить шаги 2–4 для произвольной прямой $y = a + kx$ с $k < 0$ $a > 0$ получится $x_T = -\dfrac{a}{2k}$ $x_Q = \dfrac{5}{4}x_T$ и $Q_- = \dfrac{a^2}{32|k|}P_0V_0$ (если отрезок $[x_T, x_Q]$ лежит внутри процесса). При $a = 3$ $|k| = \dfrac{1}{2}$ это снова $\dfrac{9}{16}P_0V_0$

Проверка

Размерность: и $Q_-$ и $A_{12}$ выражены в единицах $P_0V_0$ (джоули), отношение безразмерно.

Второй способ найти $Q_-$ $Q_- = \Delta U + A$ на участке $3 \le x \le 3{,}75$ Давления на концах участка: $y(3) = 3 - 1{,}5 = 1{,}5$ и $y(3{,}75) = 3 - 1{,}875 = 1{,}125$ . Тогда в единицах $P_0V_0$

\Delta U = \dfrac{3}{2}\,(3{,}75\cdot 1{,}125 - 3\cdot 1{,}5)

= \dfrac{3}{2}\,(4{,}21875 - 4{,}5) = -0{,}421875,

A = \dfrac{1{,}5 + 1{,}125}{2}\cdot 0{,}75 = 0{,}984375,

Q_- = -0{,}421875 + 0{,}984375 = 0{,}5625

— совпадает с интегралом.

Проверка знаков теплоёмкости. Из шагов 2 и 3

C = \dfrac{\delta Q}{dT} = \nu R\,\dfrac{15/2 - 2x}{3 - x}.

При $x \to 3^-$ (слева от максимума температуры, $T$ ещё растёт) $C \to +\infty$ например $C(2{,}99) \approx +152\,\nu R$ ; при $x \to 3^+$ (справа, на участке $C < 0$ ) $C \to -\infty$ например $C(3{,}01) \approx -148\,\nu R$ ; в точке $x = 3{,}75$ теплоёмкость обращается в нуль (адиабатическая точка), а при $x > 3{,}75$ снова положительна — именно так и должна вести себя теплоёмкость линейного процесса.

Ответ

$\dfrac{Q_-}{A_{12}} = \dfrac{9}{48} = \dfrac{3}{16} = 0{,}1875 \approx 0{,}19$

Главная идея

Отрицательная теплоёмкость — это не «тепло отводят», а «тепло подводят, а температура падает»: нужны два разных нуля на прямой — ноль производной $PV$ (максимум $T$ $x_T = 3$ ) и ноль $\delta Q$ (адиабатическая точка, $x_Q = 3{,}75$ ). Между ними знаки $\delta Q$ и $dT$ противоположны, и именно там интегрируется теплота.

Прямая с отрицательным наклоном в координатах $P$ – $V$ и слова «теплоёмкость отрицательна» или «на каком участке тепло подводится». Приём: записать $\delta Q$ через $x$ как $\dfrac{3}{2}d(PV) + P\,dV$ , получить линейную функцию от $x$ найти её нуль и нуль $d(PV)/dx$ Для прямой $y = a + kx$ с $k < 0$ и $a > 0$ (одноатомный газ) всегда $x_Q = \dfrac{5}{4}x_T$ а $Q_-$ между ними — площадь треугольника; остаётся лишь проверить, что этот отрезок попал внутрь процесса.

Где легко ошибиться

Считать, что теплоёмкость отрицательна на всём участке, где температура падает ( $3 < x < 4$ ), и интегрировать $\delta Q$ до конца процесса. Тогда

Q = P_0V_0\left[\dfrac{15}{2}x - x^2\right]_3^4 = 0{,}5\,P_0V_0

и отношение $0{,}17$ — неверно, потому что на $3{,}75 < x < 4$ тепло уже отводится и теплоёмкость снова положительна: отрицательна она только там, где падение температуры сопровождается подводом тепла.

Источник и авторство

Физтех · физика · 11 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 6.1 (ID 5929).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Продвинутая подготовка

Первый закон термодинамики
Производная
Интеграл или площадь трапеции

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний · Закон сохранения энергии · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →