Физтех 2026/27 · Физика · 11 кл., №4 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

В вертикальном цилиндрическом сосуде, герметично закрытом лёгким поршнем площадью $100$ [см $^2$ ], который может перемещаться в сосуде без трения, находятся: вода, водяной пар и углекислый газ. Объёмы газовой и жидкой фаз одинаковы и равны $1$ [л], система находится в равновесии. Внешнее атмосферное давление $100$ [кПа]. К поршню прикладывают постоянную вертикальную силу, направленную вниз, такую, что создаваемое ею давление на поршень составляет $25$ [кПа]. Температура содержимого сосуда поддерживается равной $25\,^\circ$ C. По закону Генри, при заданной температуре количество $\Delta\nu$ растворённого углекислого газа в объёме $w$ жидкости пропорционально парциальному давлению $p$ углекислого газа: $\Delta\nu = kpw$ Для углекислого газа константа Генри при $25\,^\circ$ C равна $k = 3{,}4\cdot10^{-4}$ моль/(м $^3\cdot$ Па). Давление насыщенного водяного пара при $25\,^\circ$ C составляет $3{,}2$ [кПа]. Универсальная газовая постоянная $8{,}31$ Дж/(моль $\cdot$ K). Найдите расстояние, на которое сместится поршень к моменту установления равновесия. Ответ приведите в [см] и округлите до десятых.

Дано: $S = 100$ см $^2 = 10^{-2}$ м $^2$ $V_1 = w = 1$ л $= 10^{-3}$ м $^3$ (объёмы газа и воды); $p_0 = 100$ кПа; $\Delta p = 25$ кПа; $t = 25\,^\circ$ C ( $T \approx 298$ К); $k = 3{,}4\cdot10^{-4}$ моль/(м $^3\cdot$ Па); $p_{\text{н}} = 3{,}2$ кПа; $R = 8{,}31$ Дж/(моль $\cdot$ К). Найти: смещение поршня $\Delta x$ в см, до десятых.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Сжатие газа над водой с растворением CO₂

Как смещение поршня зависит от добавочного давления Δp, растворимости k и объёма фаз — и насколько растворение в воде усиливает сжатие по сравнению с «сухим» законом Бойля–Мариотта?

Добавочное давление Δp, кПаКонстанта Генри k, 10⁻⁴ моль/(м³·Па)Объём газа и воды (V₁ = w), л

Модель загружается…

Модель использует выведенную формулу (идеальные газы, пар всегда насыщенный, объём воды неизменен, закон Генри линейный); при выбранных диапазонах объём газа остаётся положительным (минимум ≈0,077 л при V = 0,5 л, k = 6·10⁻⁴ моль/(м³·Па), Δp = 50 кПа), но модель не проверяет нелинейность растворимости, и анимация иллюстрирует, а не доказывает результат.

Попробуйте сами: над водой находятся два газа — пар и CO $_2$ Подумайте, что происходит с каждым из них, когда поршень давят вниз при постоянной температуре, и куда, кроме газовой фазы, может деваться углекислый газ. Запишите состояние газа «до» и «после» и попробуйте связать их.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Газ над водой — смесь (закон Дальтона): насыщенный пар плюс CO $_2$ Пока в сосуде есть жидкая вода и температура постоянна, парциальное давление пара равно $p_{\text{н}} = 3{,}2$ кПа в любом состоянии — меняться может только парциальное давление CO $_2$ А CO $_2$ при росте давления не только сжимается, но и дополнительно растворяется в воде по закону Генри, поэтому считать нужно полное количество CO $_2$ в сосуде (газ + раствор).

Подсказка 2

Лёгкий поршень без трения: в равновесии давление газа равно внешнему, $p_1 = p_0$ до и $p_2 = p_0 + \Delta p$ после приложения силы. Вычтите из них постоянное давление пара — получите парциальные давления CO $_2$

p_{1}^{\text{CO}_2} = p_0 - p_{\text{н}} = 96{,}8\ \text{кПа},

p_{2}^{\text{CO}_2} = p_0 + \Delta p - p_{\text{н}} = 121{,}8\ \text{кПа}.

Дальше: сколько молей CO $_2$ в газе и в воде в каждом состоянии?

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Начальное состояние: давление и состав газа

Поршень лёгкий и движется без трения, значит в равновесии давление газа внутри равно атмосферному: $p_1 = p_0 = 100$ кПа. Над водой — смесь двух газов, и по закону Дальтона $p_1 = p_{\text{н}} + p_{1}^{\text{CO}_2}$ . Пар насыщенный (жидкая вода в сосуде есть), поэтому его парциальное давление известно: $p_{\text{н}} = 3{,}2$ кПа. Отсюда

p_{1}^{\text{CO}_2} = p_0 - p_{\text{н}} = 96{,}8\ \text{кПа}.

Количество CO $_2$ в газе — по уравнению Менделеева–Клапейрона, в воде — по закону Генри:

\nu_1 = \dfrac{p_{1}^{\text{CO}_2} V_1}{RT},

\nu_{\text{р}1} = k\,p_{1}^{\text{CO}_2}\,w.

Система в равновесии, то есть вода уже насыщена углекислым газом при этом парциальном давлении.

Шаг 2. Конечное состояние: что меняется, а что нет

После приложения силы давление газа снизу должно уравновесить $p_0$ и добавку $\Delta p$ $p_2 = p_0 + \Delta p = 125$ кПа. Температура поддерживается постоянной, вода остаётся, поэтому пар по-прежнему насыщенный и его парциальное давление то же самое, $p_{\text{н}} = 3{,}2$ кПа (лишний пар просто конденсируется). Значит, всё добавочное давление достаётся CO $_2$

p_{2}^{\text{CO}_2} = p_0 + \Delta p - p_{\text{н}},

p_{2}^{\text{CO}_2} = 121{,}8\ \text{кПа},

p_{2}^{\text{CO}_2} - p_{1}^{\text{CO}_2} = \Delta p.

Это ключевое наблюдение: парциальное давление CO $_2$ выросло ровно на $\Delta p = 25$ кПа.

Два состояния: давление пара одинаково (3,2 кПа), всё добавочное давление Δp = 25 кПа достаётся CO₂; поршень опускается на Δx. Высоты газа и воды «до» равны, как в условии; масштаб по высоте соблюдён.

Шаг 3. Закон Генри: часть CO₂ уходит в воду

Раз парциальное давление CO $_2$ выросло, вода растворит дополнительно (объём воды $w$ считаем неизменным)

\Delta\nu = k\,(p_{2}^{\text{CO}_2} - p_{1}^{\text{CO}_2})\,w = k\,\Delta p\,w,

\Delta\nu = 3{,}4\cdot10^{-4}\cdot 25\cdot10^{3}\cdot 10^{-3},

\Delta\nu = 8{,}5\cdot10^{-3}\ \text{моль}.

Полное количество CO $_2$ в сосуде сохраняется, поэтому в газе остаётся

\nu_2 = \nu_1 - \Delta\nu = \dfrac{p_{1}^{\text{CO}_2} V_1}{RT} - k\,\Delta p\,w.

Численно (при $T = 298$ К):

\nu_1 = \dfrac{96{,}8\cdot10^{3}\cdot10^{-3}}{8{,}31\cdot 298}\ \text{моль},

\nu_1 \approx 3{,}91\cdot10^{-2}\ \text{моль},

\nu_2 \approx 3{,}06\cdot10^{-2}\ \text{моль}.

В раствор ушла примерно пятая часть газообразного CO $_2$ — это заметно.

Баланс CO₂: общее количество 72,0 ммоль сохраняется; стрелка показывает 8,5 ммоль, перешедшие из газа в воду (пунктир — сколько было в газе до сжатия).

Шаг 4. Новый объём газа и смещение поршня

Объём газовой фазы задаёт CO $_2$ (пар при любом объёме держит своё $p_{\text{н}}$ ): $p_{2}^{\text{CO}_2} V_2 = \nu_2 RT$ . Подставим $\nu_2$ из шага 3:

p_{2}^{\text{CO}_2} V_2 = p_{1}^{\text{CO}_2} V_1 - k\,\Delta p\,w\,RT.

Смещение поршня $\Delta x = (V_1 - V_2)/S$ поэтому нужна разность объёмов. Вычтем полученное равенство из $p_{2}^{\text{CO}_2} V_1$ Множитель при $V_1$ станет $p_{2}^{\text{CO}_2} - p_{1}^{\text{CO}_2}$ , а это ровно $\Delta p$ (шаг 2):

p_{2}^{\text{CO}_2}(V_1 - V_2) =

= \Delta p\,V_1 + k\,\Delta p\,w\,RT.

Вынесем $\Delta p$ и разделим на $p_{2}^{\text{CO}_2}$

V_1 - V_2 = \dfrac{\Delta p\,(V_1 + k\,w\,RT)}{p_{2}^{\text{CO}_2}}.

Делим на $S$ и получаем итог в общем виде:

\Delta x = \dfrac{\Delta p\,(V_1 + k\,w\,RT)}{(p_0 + \Delta p - p_{\text{н}})\,S}.

Слагаемое $k\,w\,RT$ — «добавочный объём»: вода работает как дополнительный резервуар для CO $_2$

Шаг 5. Подстановка и округление

Сначала «добавочный объём» воды:

k\,w = 3{,}4\cdot10^{-4}\cdot10^{-3} = 3{,}4\cdot10^{-7},

k\,w\,RT = 3{,}4\cdot10^{-7}\cdot 8{,}31\cdot 298,

k\,w\,RT \approx 8{,}42\cdot10^{-4}\ \text{м}^3 = 0{,}842\ \text{л},

V_1 + k\,w\,RT \approx 1{,}842\cdot10^{-3}\ \text{м}^3.

Теперь смещение:

\Delta x = \dfrac{25\cdot10^{3}\cdot 1{,}842\cdot10^{-3}}{121{,}8\cdot10^{3}\cdot 10^{-2}}\ \text{м},

\Delta x \approx 3{,}78\cdot10^{-2}\ \text{м} = 3{,}78\ \text{см}.

По условию ответ округляем до десятых: $3{,}78 \to 3{,}8$ см. Поршень опустится на $\Delta x \approx 3{,}8$ см (газ сжался с $1$ л до $\approx 0{,}62$ л).

Проверка

Размерность $k\,w\,RT$

\dfrac{\text{моль}}{\text{м}^3\cdot\text{Па}}\cdot\text{м}^3\cdot\dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}} = \dfrac{\text{Дж}}{\text{Па}} = \text{м}^3,

то есть это объём и складывается с $V_1$ корректно. Для смещения:

[\Delta x] = \dfrac{\text{Па}\cdot\text{м}^3}{\text{Па}\cdot\text{м}^2} = \text{м}.

Предельные случаи: при $k \to 0$ (газ не растворяется) формула превращается в закон Бойля–Мариотта для CO $_2$

\Delta x = \dfrac{\Delta p\,V_1}{p_{2}^{\text{CO}_2} S} \approx 2{,}05\ \text{см};

при $\Delta p \to 0$ смещение нулевое. Второй способ — прямой пересчёт через количества вещества при $T = 298$ К:

$\nu_1 = 3{,}909\cdot10^{-2}$ моль;
$\nu_2 = 3{,}059\cdot10^{-2}$ моль;
$V_2 = 0{,}6219$ л, $\Delta V = 0{,}378$ л;
$\Delta x = 378\ \text{см}^3 / 100\ \text{см}^2 = 3{,}78$ см — совпадает с формулой.

Проверка допущений: сконденсировавшийся пар ( $\approx 4{,}9\cdot10^{-4}$ моль) меняет объём воды примерно на $0{,}01$ мл, а $V_2 > 0$ — вода и газ остаются, модель состоятельна.

Ответ

$\Delta x \approx 3{,}8$ см (точнее $3{,}78$ см)

Главная идея

Пар над водой при постоянной температуре всегда насыщенный, его парциальное давление не меняется — поэтому всё добавочное давление достаётся CO $_2$ а CO $_2$ при этом не только сжимается, но и уходит в воду по закону Генри. Баланс количества CO $_2$ (газ + раствор) и уравнение состояния дают объём газа.

В сосуде жидкость + её насыщенный пар + посторонний газ, задана константа Генри и изменяется давление при постоянной температуре. Признак: «вода и пар при $T = \text{const}$ » означает фиксированное $p_{\text{н}}$ а слово «растворённый» и закон Генри означают, что сохраняется не количество газа над жидкостью, а его полное количество в сосуде. Решение всегда строится по схеме: Дальтон → парциальное давление газа → Генри → баланс молей → Менделеев–Клапейрон.

Где легко ошибиться

Применить закон Бойля–Мариотта ко всей газовой смеси: $100\cdot V_1 = 125\cdot V_2$ . Это неверно дважды: пар не подчиняется этому закону (его давление остаётся $3{,}2$ кПа, а количество меняется за счёт конденсации), и часть CO $_2$ покидает газ, растворяясь в воде. Такой подход даёт $\Delta x = 2{,}0$ см вместо $3{,}8$ см — почти вдвое меньше, потому что потеряна «ёмкость» воды $k\,w\,RT \approx 0{,}84$ л.

Источник и авторство

Физтех · физика · 11 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 4.1 (ID 5921).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Продвинутая подготовка

Парциальное давление
Насыщенный пар
Идеальный газ
Закон Генри

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →