Физтех 2026/27 · Физика · 11 кл., №5 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

КПД прямого термодинамического цикла с одноатомным идеальным газом, состоящего из двух изотерм и двух изобар, равен $30\%$ Отношение температуры при изотермическом расширении к температуре при изотермическом сжатии в цикле равно $4$ Найдите отношение работы газа при изобарическом расширении к работе газа при изотермическом расширении. Ответ округлите до десятых.

Дано: Рабочее тело — одноатомный идеальный газ ( $C_V=\dfrac{3}{2}R$ $C_p=\dfrac{5}{2}R$ ). Цикл прямой, из двух изотерм и двух изобар. КПД $\eta = 0{,}3$ Отношение температур изотерм $n=\dfrac{T_1}{T_2}=4$ ( $T_1$ — температура изотермического расширения, $T_2$ — изотермического сжатия). Найти $k=\dfrac{A_{\text{изоб.расш}}}{A_{\text{изот.расш}}}$ с точностью до десятых.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Как КПД и отношение температур задают форму цикла

Как меняется отношение работ A₁₂/A₂₃ (и отношение давлений p₁/p₂), если менять КПД цикла η и отношение температур n = T₁/T₂?

КПД цикла ηОтношение температур n = T₁/T₂

Модель загружается…

Модель использует уже выведенную формулу x = ln(p₁/p₂) = 5η(n−1)/(2(n−1−ηn)) для одноатомного газа без регенерации; график и перестраивающаяся диаграмма иллюстрируют зависимость, но не заменяют вывод.

На рисунке — две изобары $p_1>p_2$ и две изотермы $T_1>T_2$ но направление обхода не указано. Расставьте его так, чтобы цикл был прямым, и выпишите работу газа на каждом из четырёх участков через $\nu$ $R$ $T_1$ $T_2$ и $\dfrac{p_1}{p_2}$ Затем спросите себя: на каких участках газ получает тепло? Этого достаточно, чтобы составить уравнение на КПД.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Начните с определения: $\eta=\dfrac{A}{Q_+}$ где $Q_+$ — тепло, которое газ только получает. Нарисуйте цикл по часовой стрелке и для каждого из четырёх участков определите знак $Q$ по первому началу $Q=\Delta U+A$ Не ограничивайтесь изотермами: на каком ещё участке газ одновременно и нагревается, и расширяется?

Подсказка 2

Обозначьте $x=\ln\dfrac{p_1}{p_2}$ — это единственный неизвестный параметр формы цикла. Выразите через $x$ работу газа на каждой изотерме ( $\pm\nu R T\,x$ знак — по направлению процесса), а через $\nu R\,\Delta T$ — работу на каждой изобаре. Затем составьте $\eta=\dfrac{A}{Q_+}$ где $A$ — сумма всех четырёх работ, а в $Q_+$ входят только участки с $Q>0$ получится одно уравнение на $x$

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Рисуем цикл и расставляем состояния

Цикл прямой, значит, на диаграмме $p$ – $V$ он обходится по часовой стрелке. Две изобары — горизонтальные прямые $p_1>p_2$ две изотермы — гиперболы $T_1>T_2$ Вершины цикла — четыре точки пересечения: $(p_1,T_2)$ $(p_1,T_1)$ $(p_2,T_1)$ $(p_2,T_2)$ Объём в каждой точке $V=\dfrac{\nu R T}{p}$ поэтому самый маленький объём у точки $(p_1,T_2)$ — назовём её $1$ По часовой стрелке:

$1\to2$ изобарическое расширение при $p_1$ температура растёт от $T_2$ до $T_1$
$2\to3$ изотермическое расширение при $T_1$ давление падает от $p_1$ до $p_2$
$3\to4$ изобарическое сжатие при $p_2$ температура падает до $T_2$
$4\to1$ изотермическое сжатие при $T_2$ давление растёт до $p_1$

По условию $T_1$ — температура изотермического расширения, $T_2$ — изотермического сжатия, $n=\dfrac{T_1}{T_2}=4$ Нам нужны работы на участках $1\to2$ и $2\to3$

Шаг 2. Работа газа на каждом участке

На изобаре работа — это $p\,\Delta V$ а по уравнению Менделеева–Клапейрона $p\,\Delta V=\nu R\,\Delta T$ при $p=\mathrm{const}$

A_{12}=p_1(V_2-V_1)=\nu R(T_1-T_2),

A_{34}=p_2(V_4-V_3)=-\nu R(T_1-T_2).

На изотерме $A=\nu R T\ln\dfrac{V_{\text{кон}}}{V_{\text{нач}}}$ , а при $T=\mathrm{const}$ отношение объёмов равно обратному отношению давлений, $\dfrac{V_3}{V_2}=\dfrac{p_1}{p_2}$ :

A_{23}=\nu R T_1\ln\dfrac{p_1}{p_2},

A_{41}=\nu R T_2\ln\dfrac{V_1}{V_4}=-\nu R T_2\ln\dfrac{p_1}{p_2}.

Обозначим $x=\ln\dfrac{p_1}{p_2}>0$ — это единственный параметр цикла, который нам пока неизвестен. Работа за цикл: изобарные работы взаимно уничтожаются, остаются изотермы:

A=A_{12}+A_{23}+A_{34}+A_{41}=\nu R(T_1-T_2)\,x.

Искомое отношение уже видно:

k=\dfrac{A_{12}}{A_{23}}=\dfrac{\nu R(T_1-T_2)}{\nu R T_1 x},

k=\dfrac{n-1}{n\,x}.

Остаётся найти $x$ из КПД.

Шаг 3. Где газ получает тепло

КПД считается по теплу, которое газ именно получает: $\eta=\dfrac{A}{Q_+}$ Пройдём по участкам с первым началом $Q=\Delta U+A$ $\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T$ для одноатомного газа.

$1\to2$ (изобарный нагрев): $Q_{12}=\nu C_p(T_1-T_2)=\dfrac{5}{2}\nu R(T_1-T_2)>0$ — тепло подводится (и на рост $U$ и на работу).
$2\to3$ (изотермическое расширение): $\Delta U=0$ $Q_{23}=A_{23}=\nu R T_1 x>0$ — тепло подводится.
$3\to4$ (изобарное охлаждение): $Q_{34}=-\dfrac{5}{2}\nu R(T_1-T_2)<0$ — тепло отдаётся.
$4\to1$ (изотермическое сжатие): $Q_{41}=A_{41}=-\nu R T_2 x<0$ — тепло отдаётся.

Итак,

Q_+=Q_{12}+Q_{23},

Q_+=\dfrac{5}{2}\nu R(T_1-T_2)+\nu R T_1 x.

Важно: регенерации тепла (передачи $|Q_{34}|$ обратно на участок $1\to2$ ) в условии нет, поэтому $Q_{12}$ полностью входит в $Q_+$ Если бы регенератор был, КПД равнялся бы КПД Карно $1-\dfrac{1}{n}=0{,}75$ а не $0{,}3$ — это тоже подтверждает, что считать нужно без регенерации.

Куда идёт тепло на каждом участке: газ получает тепло на изобарном нагреве 1→2 и изотермическом расширении 2→3 (красные стрелки направлены к процессу), отдаёт — на 3→4 и 4→1 (синие стрелки направлены наружу). В

Q_+

входят только красные участки. Рисунок в масштабе:

T_1=4T_2

p_1/p_2=e^{1{,}25}\approx3{,}5

Шаг 4. Уравнение для КПД и нахождение $x$

Подставляем $A$ и $Q_+$ в $\eta=\dfrac{A}{Q_+}$ и делим числитель и знаменатель на $\nu R T_2$ (чтобы остались только $n$ и $x$ ):

\eta=\dfrac{(n-1)\,x}{\dfrac{5}{2}(n-1)+n\,x}.

Решаем относительно $x$

\eta\cdot\dfrac{5}{2}(n-1)+\eta\,n\,x=(n-1)\,x.

Собираем слагаемые с $x$ в одной части:

x\,(n-1-\eta n)=\dfrac{5}{2}\,\eta\,(n-1),

x=\dfrac{5\eta(n-1)}{2(n-1-\eta n)}.

Решение существует при $\eta<\dfrac{n-1}{n}$ то есть при КПД меньше карновского для тех же температур — как и должно быть. У нас $0{,}3<0{,}75$ Численно при $n=4$ $\eta=0{,}3$

x=\dfrac{5\cdot0{,}3\cdot3}{2\cdot(3-1{,}2)}=\dfrac{4{,}5}{3{,}6},

x=1{,}25,\qquad \dfrac{p_1}{p_2}=e^{1{,}25}\approx3{,}5.

Шаг 5. Искомое отношение работ

Берём формулу шага 2:

k=\dfrac{A_{12}}{A_{23}}=\dfrac{n-1}{n\,x}.

Подставляем найденный $x$

k=\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{2(n-1-\eta n)}{5\eta(n-1)}.

Множитель $(n-1)$ сокращается:

k=\dfrac{2\,(n-1-\eta n)}{5\,\eta\,n}.

Числа: $n=4$ $\eta=0{,}3$

k=\dfrac{2\,(4-1-0{,}3\cdot4)}{5\cdot0{,}3\cdot4}=\dfrac{2\cdot1{,}8}{6},

k=0{,}6.

Ответ уже точный до десятых: $k=0{,}6$

Сравниваемые работы как площади под кривыми: прямоугольник

A_{12}

под изобарой 1→2 и площадь

A_{23}

под изотермой 2→3. Рисунок построен в масштабе (

T_1=4T_2

p_1/p_2=e^{1{,}25}\approx3{,}5

), поэтому отношение красной площади к синей равно ответу 0,6.

Проверка

Размерность: $k$ — отношение двух работ, а формула $\dfrac{2(n-1-\eta n)}{5\eta n}$ составлена из безразмерных $n$ и $\eta$ — согласовано.

Обратная подстановка $x=1{,}25$ $n=4$ (всё в единицах $\nu R T_2$ ):

A=(n-1)\,x=3\cdot1{,}25=3{,}75,

Q_+=\dfrac{5}{2}(n-1)+n\,x=7{,}5+5=12{,}5,

\eta=\dfrac{3{,}75}{12{,}5}=0{,}3

— сходится с условием.

Второй способ: подставим $x=\dfrac{n-1}{n\,k}$ прямо в уравнение КПД:

\eta=\dfrac{n-1}{n\,(2{,}5k+1)}.

При $n=4$ $\eta=0{,}3$

2{,}5k+1=\dfrac{3}{1{,}2}=2{,}5,

k=0{,}6.

Предельные случаи:

при $\eta\to\dfrac{n-1}{n}$ (КПД Карно) $x\to\infty$ и $k\to0$ цикл становится «почти Карно», изобары ничтожны по сравнению с длинными изотермами;
при $\eta\to0$ $x\to0$ и $k\to\infty$ изотермы вырождаются, работа за цикл стремится к нулю при конечных изобарных теплотах.

Ответ

$\dfrac{A_{\text{изоб.расш}}}{A_{\text{изот.расш}}}=\dfrac{2(n-1-\eta n)}{5\eta n}=0{,}6$

Главная идея

В цикле из двух изобар и двух изотерм работы на изобарах сокращаются, и вся работа цикла $\nu R(T_1-T_2)\ln\dfrac{p_1}{p_2}$ сидит на изотермах, а полученное тепло складывается из изобарного нагрева ( $C_p$ ) и изотермического расширения. КПД даёт одно уравнение на единственную неизвестную $\ln\dfrac{p_1}{p_2}$ через которую и выражается искомое отношение работ.

Цикл задан не числами давлений и объёмов, а «качественно» (типы участков) плюс КПД и отношение температур. Это сигнал: неизвестен ровно один геометрический параметр цикла (здесь $\ln\dfrac{p_1}{p_2}$ ), и его нужно найти из $\eta=\dfrac{A}{Q_+}$ Схема всегда одна: нарисовать цикл по часовой стрелке, выписать $A$ и $Q$ на каждом участке через $\nu R T$ отобрать участки с $Q>0$ решить уравнение КПД, подставить в искомое отношение.

Где легко ошибиться

Считать, что газ получает тепло только на изотермическом расширении, и брать $Q_+=A_{23}$ забыв изобарный нагрев $1\to2$ (или учесть его с $C_V$ вместо $C_p$ «потеряв» работу на изобаре). Тогда уравнение КПД получается неверным: при $Q_+=A_{23}$ вышло бы $\eta=1-\dfrac{1}{n}=0{,}75$ независимо от формы цикла, что противоречит условию $\eta=0{,}3$ Физически на изобаре $1\to2$ газ и нагревается, и расширяется — оба вклада берутся у нагревателя, и именно они снижают КПД ниже карновского.

Источник и авторство

Физтех · физика · 11 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 5.1 (ID 5925).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Продвинутая подготовка

Газовые процессы
Первый закон термодинамики
КПД
Логарифм

Приёмы решения: Первый закон для цикла · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →