Физтех 2026/27 · Физика · 11 кл., №2 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Массивный обруч $1$ катится без проскальзывания по горизонтальной шероховатой плоскости со скоростью $V_0 = 0{,}5$ [м/с] (см. рис.) и абсолютно упруго сталкивается с покоящимся обручем $2$ Сразу после прекращения проскальзывания обруч $2$ абсолютно упруго сталкивается с обручем $3$ Все три обруча одинаковые, масса каждого обруча равномерно распределена по длине его окружности. Коэффициент трения скольжения обручей по горизонтальной шероховатой плоскости равен $0{,}4$ Ускорение свободного падения $10$ [м/с $^2$ ]. Обручи движутся в одной вертикальной плоскости. Найдите время между первым и вторым столкновениями обручей $1$ и $2$ Ответ приведите в [с] и округлите до сотых. За время соударения угловая скорость вращения каждого обруча в системе его центра масс не изменяется.

Дано: $V_0 = 0{,}5$ м/с, $\mu = 0{,}4$ $g = 10$ м/с $^2$ обручи одинаковые, момент инерции каждого относительно центра $I = mR^2$ удары абсолютно упругие и центральные, угловые скорости при ударе не меняются. Найти: время $T$ между первым и вторым столкновениями обручей $1$ и $2$ (в секундах, до сотых).

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Три обруча: скольжение, качение и догоняние

Как меняются время до повторного удара и зазор между обручами, если менять V₀ и коэффициент трения μ?

Начальная скорость V₀, м/сКоэффициент трения μУскорение свободного падения g, м/с²Ход демонстрации

Статичный режим

Модель загружается…

Модель подставляет уже выведенные формулы фаз движения (a = μg, ε = μg/R, обмен скоростями при ударе) и не доказывает их; анимация — иллюстрация, а не независимая проверка, масштаб радиуса и зазоров условный.

Попробуйте сами: что происходит с обручем $1$ сразу после удара — он действительно останавливается, как бильярдный шар? А что делает с ним трение в следующий момент? Выпишите скорости и угловые скорости всех обручей после каждого удара и проследите, кто кого догоняет.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

При абсолютно упругом центральном ударе одинаковых обручей, если угловые скорости не меняются, поступательные скорости центров просто обмениваются (как у одинаковых шаров). После удара обруч, у которого скорость центра и вращение «не согласованы» ( $v \ne \omega R$ ), проскальзывает по плоскости, и на него действует трение скольжения $\mu m g$ — оно меняет и скорость центра, и угловую скорость, пока не установится качение без проскальзывания.

Подсказка 2

Для обруча с $I = mR^2$ при проскальзывании ускорение центра по модулю $a = \mu g$ а угловое ускорение $\varepsilon = \dfrac{\mu m g\,R}{mR^2} = \dfrac{\mu g}{R}$ , то есть $\omega R$ меняется с тем же темпом $\mu g$ что и $v$ только в противоположную сторону. Запишите $v(t)$ и $\omega(t)R$ для обруча $1$ (сразу после удара $v = 0$ $\omega R = V_0$ ) и для обруча $2$ ( $v = V_0$ $\omega = 0$ ) и найдите из условия $v = \omega R$ когда каждый из них перестаёт скользить.

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Первый удар: скорости центров обмениваются, вращение остаётся

Удар абсолютно упругий и центральный: ударный импульс направлен вдоль линии центров (горизонтально), а импульс трения со стороны плоскости за короткое время удара пренебрежимо мал — именно поэтому по условию угловые скорости в системах центров масс за время удара не меняются. Значит, вращательная энергия каждого обруча при ударе сохраняется, и для поступательного движения центров выполняются обычные законы удара двух одинаковых тел — сохранение импульса и сохранение «поступательной» кинетической энергии:

mV_0 = mv_1 + mv_2,

\dfrac{mV_0^2}{2} = \dfrac{mv_1^2}{2} + \dfrac{mv_2^2}{2}.

Сократим на $m$ и подставим $v_2 = V_0 - v_1$ во второе уравнение:

V_0^2 = v_1^2 + (V_0 - v_1)^2,

0 = 2v_1^2 - 2V_0 v_1,

2v_1\,(v_1 - V_0) = 0.

Корень $v_1 = V_0$ означает «удара не было», остаётся обмен скоростями:

v_1 = 0,\qquad v_2 = V_0.

Но обруч $1$ до удара катился без проскальзывания, поэтому вращался с $\omega_0 = \dfrac{V_0}{R}$ , и это вращение после удара осталось. Итак, сразу после первого удара: обруч $1$ — центр покоится, $\omega_1 = \dfrac{V_0}{R}$ ; обруч $2$ — центр движется со скоростью $V_0$ $\omega_2 = 0$ У обоих $v \ne \omega R$ то есть оба обруча проскальзывают по плоскости.

Сразу после первого удара. Обруч 1: центр покоится, но обруч вращается с ω₁ = V₀/R, точка касания скользит назад, поэтому сила трения F = μmg направлена вперёд. Обруч 2: центр едет со скоростью V₀, вращения нет, точка касания скользит вперёд, поэтому трение направлено назад.

Шаг 2. Трение выравнивает движение: оба обруча перестают скользить одновременно

Точка касания обруча $1$ с плоскостью движется назад (со скоростью $-\omega_1 R = -V_0$ ), поэтому трение скольжения $F = \mu m g$ направлено вперёд: оно разгоняет центр и тормозит вращение. Для обруча $I = mR^2$

a_1 = \dfrac{\mu m g}{m} = \mu g,\qquad \varepsilon_1 = \dfrac{\mu m g\,R}{mR^2} = \dfrac{\mu g}{R}.

Поэтому $v_1(t) = \mu g\,t$ $\omega_1(t) R = V_0 - \mu g\,t$ . Проскальзывание прекращается при $v_1 = \omega_1 R$

\mu g\,t_1 = V_0 - \mu g\,t_1 \;\Rightarrow\; t_1 = \dfrac{V_0}{2\mu g},\qquad u_1 = \mu g\,t_1 = \dfrac{V_0}{2}.

У обруча $2$ всё наоборот: точка касания едет вперёд со скоростью $V_0$ трение направлено назад, тормозит центр ( $a_2 = -\mu g$ ) и раскручивает обруч ( $\varepsilon_2 = \dfrac{\mu g}{R}$ ): $v_2(t) = V_0 - \mu g\,t$ $\omega_2(t) R = \mu g\,t$ Условие $v_2 = \omega_2 R$ даёт то же самое время $t_1 = \dfrac{V_0}{2\mu g}$ и ту же скорость $u_2 = \dfrac{V_0}{2}$ После этого оба катятся равномерно (при чистом качении по горизонтали трение не нужно).

Может ли обруч $1$ догнать обруч $2$ раньше $t_1$ Нет: пока оба скользят, $v_2 - v_1 = V_0 - 2\mu g\,t > 0$ при $t < t_1$ так что обруч $2$ всё время удаляется от обруча $1$ и зазор между ними только растёт. Именно в момент $t_1$ по условию обруч $2$ ударяет обруч $3$ — так задана его позиция.

Шаг 3. Зазор между обручами 1 и 2 к моменту удара 2–3

Отсчитываем координаты от положений центров в момент первого удара (обручи касаются). За время $t_1$ центр обруча $1$ прошёл $x_1 = \dfrac{\mu g\,t_1^2}{2}$ , центр обруча $2$ — $x_2 = V_0 t_1 - \dfrac{\mu g\,t_1^2}{2}$ . Зазор между обручами (сверх расстояния $2R$ при касании):

d = x_2 - x_1 = V_0 t_1 - \mu g\,t_1^2 = \dfrac{V_0^2}{2\mu g} - \dfrac{V_0^2}{4\mu g} = \dfrac{V_0^2}{4\mu g}.

Для чисел варианта:

d = \dfrac{0{,}5^2}{4\cdot 0{,}4\cdot 10} = \dfrac{0{,}25}{16},

d = 0{,}015625\ \text{м}

— чуть больше полутора сантиметров.

Шаг 4. Удар 2–3 и повторный разгон обруча 2

Обруч $2$ подходит к покоящемуся обручу $3$ со скоростью $\dfrac{V_0}{2}$ и вращением $\omega_2 R = \dfrac{V_0}{2}$ . Удар снова упругий и центральный, массы одинаковые, вращение не меняется — скорости центров обмениваются (та же выкладка, что в шаге 1): обруч $3$ уезжает со скоростью $\dfrac{V_0}{2}$ (без вращения), а обруч $2$ останавливается, сохранив $\omega_2 R = \dfrac{V_0}{2}$ . Это та же ситуация, что у обруча $1$ в шаге 2, только с вдвое меньшей угловой скоростью: трение разгоняет центр вперёд с $a = \mu g$ и тормозит вращение, пока $\mu g\,\tau = \dfrac{V_0}{2} - \mu g\,\tau$ :

\tau_2 = \dfrac{V_0}{4\mu g},\qquad u_2' = \mu g\,\tau_2 = \dfrac{V_0}{4}.

После этого обруч $2$ катится равномерно со скоростью $\dfrac{V_0}{4}$ Обруч $3$ тем временем тормозится трением (и раскручивается) до той же $\dfrac{V_0}{4}$ за то же время $\tau_2$ и всё время остаётся впереди обруча $2$ его скорость $\dfrac{V_0}{2} - \mu g\,\tau$ больше скорости обруча $2$ равной $\mu g\,\tau$ при $\tau < \tau_2$ а затем они равны. До искомого второго удара $1$ – $2$ повторного столкновения $2$ – $3$ не происходит. После этого момента скорости снова изменятся, поэтому этот вывод не описывает всё дальнейшее движение.

Шаг 5. Обруч 1 догоняет обруч 2

Отсчитываем время $\tau$ от удара $2$ – $3$ Обруч $1$ катится равномерно со скоростью $\dfrac{V_0}{2}$ обруч $2$ сначала разгоняется, потом едет со скоростью $\dfrac{V_0}{4}$ Сначала проверим, не случится ли удар, пока обруч $2$ ещё скользит ( $\tau \le \tau_2$ ). За это время зазор сокращается на

\Delta(\tau) = \dfrac{V_0}{2}\tau - \dfrac{\mu g\,\tau^2}{2}.

К концу разгона, при $\tau = \tau_2 = \dfrac{V_0}{4\mu g}$ :

\Delta(\tau_2) = \dfrac{V_0^2}{8\mu g} - \dfrac{V_0^2}{32\mu g} = \dfrac{3V_0^2}{32\mu g},

а зазор был

d = \dfrac{V_0^2}{4\mu g} = \dfrac{8V_0^2}{32\mu g} > \Delta(\tau_2).

Значит, к концу разгона обруча $2$ зазор ещё не закрыт. Остаётся

d - \Delta(\tau_2) = \dfrac{5V_0^2}{32\mu g}.

Дальше обручи сближаются равномерно со скоростью $\dfrac{V_0}{2} - \dfrac{V_0}{4} = \dfrac{V_0}{4}$ , и на это уходит

\tau_3 = \dfrac{5V_0^2}{32\mu g} : \dfrac{V_0}{4} = \dfrac{5V_0}{8\mu g}.

Складываем все три отрезка времени между первым и вторым ударами обручей $1$ и $2$

T = t_1 + \tau_2 + \tau_3,

T = \dfrac{V_0}{2\mu g} + \dfrac{V_0}{4\mu g} + \dfrac{5V_0}{8\mu g} = \dfrac{11\,V_0}{8\mu g}.

Подстановка:

T = \dfrac{11\cdot 0{,}5}{8\cdot 0{,}4\cdot 10} = \dfrac{5{,}5}{32},

T = 0{,}171875\ \text{с} \approx 0{,}17\ \text{с}.

Скорости центров обручей 1 (синий) и 2 (красный) от момента первого удара. В момент t₁ = V₀/(2μg) оба катятся со скоростью V₀/2; обруч 2 ударяет обруч 3 и останавливается, затем разгоняется до V₀/4. Обруч 1 догоняет его в момент T = 11V₀/(8μg). Площадь между синей и красной линиями — это зазор между обручами: до t₁ она набирает d, а после удара 2–3 обруч 1 догоняет обруч 2, когда площадь между линиями снова равна d.

Проверка

Размерность: $\dfrac{V_0}{\mu g}$ — это $\dfrac{\text{м/с}}{\text{м/с}^2} =$ с, верно. Предельные случаи: при $\mu \to \infty$ все переходные процессы мгновенны, $d \to 0$ и $T \to 0$ — обруч $1$ сразу же ударяет остановившийся обруч $2$ при $\mu \to 0$ скольжение длится бесконечно долго, $T \to \infty$ Логика сближения: после всех ударов обруч $1$ едет со скоростью $\dfrac{V_0}{2}$ а обруч $2$ — не быстрее $\dfrac{V_0}{4}$ поэтому второй удар неизбежен. Независимая проверка: численное моделирование с шагом по времени (трение скольжения, условие прекращения скольжения, упругие удары обменом скоростей) даёт $T = 0{,}1719$ с при $V_0 = 0{,}5$ м/с, $\mu = 0{,}4$ в полном согласии с формулой $T = \dfrac{11V_0}{8\mu g}$ (и с остальными вариантами), а повторный удар $2$ – $3$ в модели не возникает.

Ответ

$T = \dfrac{11V_0}{8\mu g} = 0{,}171875$ с $\approx 0{,}17$ с

Главная идея

Упругий удар одинаковых тел меняет местами только скорости центров, а вращение «запоминается» в каждом обруче. Затем трение скольжения переводит каждый обруч в качение, причём для обруча ( $I = mR^2$ ) итоговая скорость всегда равна среднему $\dfrac{v + \omega R}{2}$ начальных «поступательной» и «вращательной» скоростей: трение меняет $v$ и $\omega R$ с одинаковым темпом $\mu g$ в противоположные стороны, поэтому они встречаются посередине. Время перехода — $\dfrac{|v - \omega R|}{2\mu g}$ . Задача сводится к цепочке таких переходов и обычной кинематике догоняния.

Если в условии есть удар катящихся тел и фраза «угловая скорость за время удара не меняется» — это сигнал разделить движение на поступательное (обмен скоростями при упругом ударе одинаковых масс) и вращательное (сохраняется), а потом отдельно просчитать выход на качение под действием трения скольжения: $a = \mu g$ $\varepsilon = \dfrac{\mu m g R}{I}$ , условие $v = \omega R$ Время и путь до второго удара — уже кинематика с проверкой, в какой фазе (разгон или равномерное движение) происходит встреча.

Где легко ошибиться

Считать, что после удара обруч $1$ остаётся на месте, «как бильярдный шар», и второй удар происходит, только если обруч $2$ вернётся. На самом деле у обруча $1$ сохраняется вращение, и трение скольжения разгоняет его до $\dfrac{V_0}{2}$ — быстрее, чем итоговая скорость обруча $2$ ( $\dfrac{V_0}{4}$ ). Без этого «запасённого» вращения задача не имеет решения. Такая же ошибка в зеркальном виде — полагать, что трение просто тормозит обруч $2$ до остановки, забывая, что оно одновременно его раскручивает и скольжение прекращается при $v = \dfrac{V_0}{2}$ а не при $v = 0$

Источник и авторство

Физтех · физика · 11 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 2.1 (ID 5913).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Продвинутая подготовка

Упругий удар
Момент инерции обруча
Динамика вращения
Трение и качение

Приёмы решения: Закон сохранения импульса · Закон сохранения энергии · Относительное движение

Задать вопрос по задаче →