Физтех 2026/27 · Физика · 11 кл., №10 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Четыре одинаковые пластины площадью $0{,}2$ [м $^2$ ] размещены в параллельных плоскостях на расстоянии $d = 0{,}2$ [мм] друг от друга. Между пластинами — вакуум. Заряд пластины $1$ равен $8$ [мкКл], заряд пластины $4$ равен $-8$ [мкКл]. Пластины $2$ и $3$ не заряжены и соединены друг с другом через катушку индуктивности $L = 10$ [мГн] (см. рис.). Ключ К замыкают. Найдите амплитуду колебаний силы электрического тока в колебательном контуре, образованном пластинами $2$ и $3$ и катушкой индуктивности. Ответ приведите в [А] и округлите до сотых. Потерями энергии и краевыми эффектами пренебречь. Электрическая постоянная $8{,}85\cdot10^{-12}$ [Ф/м].

Дано: $S = 0{,}2$ м $^2$ $d = 0{,}2$ мм $= 2\cdot10^{-4}$ м; $q_1 = q = 8$ мкКл; $q_4 = -q = -8$ мкКл; $q_2 = q_3 = 0$ (до замыкания); $L = 10$ мГн $= 10^{-2}$ Гн; $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}$ Ф/м. Найти: амплитуду тока $I_m$ в контуре «пластины 2–3 + катушка», в А, до сотых.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Колебания в контуре из нейтральных пластин

Как амплитуда тока зависит от зазора d, площади S, заряда q и индуктивности L — и почему энергия крайних зазоров не переходит в катушку?

Площадь пластины S, м²Зазор d, ммЗаряд пластины 1 (q), пластины 4 (−q), мкКлИндуктивность L, мГнХод демонстрации

Статичный режим

Модель загружается…

Модель принимает выведенную формулу Q = q cos ωt, I = Iₘ sin ωt (идеальный контур без потерь и краевых эффектов); анимация иллюстрирует зависимость, но не заменяет вывод, а бегущие точки — условное изображение тока, не скорость зарядов.

Попробуйте сами. Пластины 2 и 3 не заряжены — но это не значит, что между ними нет поля. Найдите поле в каждом из трёх зазоров до замыкания ключа и подумайте, что будет происходить с зарядами пластин 2 и 3, когда их соединят через катушку.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Краевыми эффектами пренебрегаем, значит, каждая пластина — заряженная плоскость, и поле в любом зазоре находится суперпозицией полей всех четырёх пластин. Посчитайте поля в трёх зазорах до замыкания и спросите себя: заряжен ли «конденсатор 2–3», если полный заряд каждой его пластины равен нулю? Вспомните, что внутри проводящей пластины поля нет.

Подсказка 2

После замыкания ключа заряд может перетекать только между пластинами 2 и 3. Введите перетёкший заряд $x$ (пластина 2: $x$ пластина 3: $-x$ ) и выпишите поля в трёх зазорах при зарядах $q,\;x,\;-x,\;-q$ по правилу

E = \dfrac{Q_{\text{слева}} - Q_{\text{справа}}}{2\varepsilon_0 S}.

Какие из них зависят от $x$ Это подскажет, энергия какого зазора может обмениваться с катушкой.

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Поле между пластинами до замыкания ключа

Краевыми эффектами пренебрегаем, поэтому каждая пластина — это две заряженные плоскости (две грани), а поле в любом зазоре складывается из полей всех зарядов. Удобное правило: поле в зазоре между соседними пластинами равно

E = \frac{Q_{\text{слева}} - Q_{\text{справа}}}{2\varepsilon_0 S},

где $Q_{\text{слева}}$ и $Q_{\text{справа}}$ — суммарные заряды всех пластин слева и справа от зазора (каждая плоскость с зарядом $Q$ создаёт поле $\dfrac{Q}{2\varepsilon_0 S}$ , направленное от себя при $Q>0$ ).

Заряды пластин: $q,\;0,\;0,\;-q$ Для любого из трёх зазоров слева в сумме $+q$ справа в сумме $-q$

E_{12} = E_{23} = E_{34} = \frac{q - (-q)}{2\varepsilon_0 S} = \frac{q}{\varepsilon_0 S} \equiv E_0 .

Поле однородно во всём промежутке от пластины 1 до пластины 4 и направлено от 1 к 4. Суммарный заряд системы равен нулю, поэтому снаружи поля нет.

Важно: внутри проводящих пластин 2 и 3 поля нет, значит, на их гранях сидят индуцированные заряды: на левой грани $-q$ на правой $+q$ (в сумме ноль, как и сказано в условии). Между пластинами 2 и 3 — напряжение

U_0 = E_0 d = \frac{q d}{\varepsilon_0 S} = \frac{q}{C},\qquad C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}.

То есть пара 2–3 — это заряженный до $U_0$ конденсатор, у которого «заряд обкладки» (заряд внутренней грани) равен $q$

Заряды на гранях и поле до замыкания: во всех трёх зазорах одно и то же поле E₀ = q/(ε₀S). Пластины 2 и 3 нейтральны, но поляризованы (−q на левой грани, +q на правой), поэтому пара 2–3 — заряженный конденсатор с напряжением U₀ = E₀d.

Шаг 2. Что меняется после замыкания ключа

Пластины 2 и 3 соединены через катушку, поэтому заряд может перетекать между ними, но только между ними: сумма $q_2 + q_3 = 0$ сохраняется. Пусть в некоторый момент заряд пластины 2 равен $x$ тогда заряд пластины 3 равен $-x$ Применим правило шага 1 ещё раз.

Зазор 1–2: слева $q$ справа $x - x - q = -q$ поэтому

E_{12} = \frac{q}{\varepsilon_0 S} = E_0.

Зазор 3–4: слева $q + x - x = q$ справа $-q$ поэтому

E_{34} = E_0.

Зазор 2–3: слева $q + x$ справа $-x - q$ поэтому

E_{23} = \frac{(q + x) - (-x - q)}{2\varepsilon_0 S} = \frac{q + x}{\varepsilon_0 S}.

Поля в крайних зазорах не меняются (пара 2–3 в целом нейтральна и снаружи себя ничего не создаёт), а в среднем зазоре поле определяется величиной

Q \equiv q + x

— это заряд правой грани пластины 2 (на левой грани пластины 3 сидит $-Q$ ). Напряжение между пластинами 2 и 3: $U_{23} = E_{23} d = \dfrac{Q}{C}$ .

Итак, для катушки система выглядит как обычный конденсатор ёмкости $C = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$ с зарядом $Q$ причём в момент замыкания $Q_0 = q$ и $I = 0$ Внешние пластины 1 и 4 лишь «зарядили» этот конденсатор и дальше в процессе не участвуют.

Шаг 3. Энергия: что уходит в катушку

Потерь нет, поэтому сохраняется полная энергия: энергия поля в трёх зазорах плюс энергия катушки. Энергия однородного поля в зазоре — это плотность энергии $\dfrac{\varepsilon_0 E^2}{2}$ , умноженная на объём зазора $S d$

В крайних зазорах поле всё время равно $E_0$ (шаг 2), поэтому их энергия постоянна и с катушкой не обменивается. Меняется только энергия среднего зазора:

W_{23} = \frac{\varepsilon_0 E_{23}^2}{2}\,S d = \frac{\varepsilon_0}{2}\left(\frac{Q}{\varepsilon_0 S}\right)^2 S d

W_{23} = \frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 S} = \frac{Q^2}{2C}.

Значит, в контуре «пара 2–3 — катушка» сохраняется сумма

\frac{Q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2} = \frac{q^2}{2C}.

Справа стоит её значение в момент замыкания, когда $Q = q$ и $I = 0$

Ток максимален, когда $Q = 0$ поле между пластинами 2 и 3 исчезло, и вся энергия среднего зазора перешла в катушку:

\frac{L I_m^2}{2} = \frac{q^2}{2C},

I_m = \frac{q}{\sqrt{LC}} = q\sqrt{\frac{d}{\varepsilon_0 S L}}.

Момент максимального тока: через катушку с пластины 2 на пластину 3 перетёк заряд q, поле в зазоре 2–3 обратилось в нуль, а в крайних зазорах осталось E₀. Ток Iₘ один и тот же во всём контуре: вниз по левому проводу от пластины 2, через катушку вправо, вверх к пластине 3. Вся энергия среднего зазора q²/(2C) перешла в катушку: LIₘ²/2.

Шаг 4. Как меняются заряд и ток во времени

Закон сохранения из шага 3 устроен так же, как у груза на пружине: $\dfrac{Q^2}{2C}$ играет роль потенциальной энергии, $\dfrac{LI^2}{2}$ — кинетической. Поэтому заряд и ток колеблются гармонически с периодом $T = 2\pi\sqrt{LC}$

Q = q\cos\omega t,\qquad \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}},

I = I_m\sin\omega t.

Пока $Q$ убывает, ток идёт от пластины 2 через катушку к пластине 3. В момент максимума тока $Q = 0$ заряд пластины 2 равен $x = -q$ пластины 3 — $+q$ Ещё через четверть периода $Q = -q$ то есть заряд пластины 2 доходит до $-2q$ и ток меняет направление.

Заряд Q = q cos ωt правой грани пластины 2 (сплошная линия, шкала слева ±q) и ток I = Iₘ sin ωt, где Iₘ = q/√(LC) (пунктир, шкала справа ±Iₘ), за один период T = 2π√(LC). Кривые нормированы на свои амплитуды; ток максимален, когда Q = 0.

Шаг 5. Числа и округление

Ёмкость пары 2–3:

C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{8{,}85\cdot10^{-12}\cdot 0{,}2}{2\cdot10^{-4}}\ \text{Ф}

C = 8{,}85\cdot10^{-9}\ \text{Ф}.

Знаменатель ответа:

\sqrt{LC} = \sqrt{10^{-2}\cdot 8{,}85\cdot10^{-9}}\ \text{с}

\sqrt{LC} \approx 9{,}407\cdot10^{-6}\ \text{с}.

Для ориентира: период $T = 2\pi\sqrt{LC} \approx 59$ мкс.

Амплитуда тока:

I_m = \frac{q}{\sqrt{LC}} = \frac{8\cdot10^{-6}}{9{,}407\cdot10^{-6}}\ \text{А}

I_m \approx 0{,}850\ \text{А} \approx 0{,}85\ \text{А}.

Ответ: $I_m \approx 0{,}85$ А.

Проверка

Проверим ответ с нескольких сторон.

Размерность: $\sqrt{LC}$ имеет размерность времени, $\sqrt{\text{Гн}\cdot\text{Ф}} = \text{с}$ , поэтому $\dfrac{q}{\sqrt{LC}}$ измеряется в Кл/с, то есть в амперах.
Предел $d \to 0$ ёмкость $C \to \infty$ энергия зазора $\dfrac{q^2}{2C} \to 0$ и ток $I_m \to 0$ Пластины 2 и 3 почти слипаются, и полю между ними негде быть.
Предел $q \to 0$ поля нет, и колебаний нет.

Баланс энергии. До замыкания поле $E_0$ есть во всех трёх зазорах, их общая энергия

\frac{3q^2}{2C} \approx 10{,}8\ \text{мДж}.

В катушку переходит только энергия среднего зазора, ровно треть:

\frac{L I_m^2}{2} = \frac{q^2}{2C} \approx 3{,}6\ \text{мДж}.

Ответ

$I_m \approx 0{,}85$ А

Главная идея

Нейтральная проводящая пластина во внешнем поле — это уже заряженная обкладка: на её гранях сидят индуцированные заряды $\mp q$ Пара 2–3 поэтому эквивалентна конденсатору $C = \varepsilon_0 S/d$ с зарядом $q$ а внешние пластины 1 и 4 после замыкания ключа ни на что не влияют — их поле в крайних зазорах остаётся прежним. Дальше это обычный $LC$ -контур: $\dfrac{q^2}{2C} = \dfrac{L I_m^2}{2}$ .

Система параллельных пластин, часть которых замкнута проводником или через элемент цепи (катушку, резистор), — сразу вводите неизвестный перетёкший заряд $x$ и считайте поле в каждом зазоре по правилу $E = \dfrac{Q_{\text{слева}} - Q_{\text{справа}}}{2\varepsilon_0 S}$ . Если соединённая пара пластин в целом нейтральна, поля вне её не меняются, и задача сводится к одному конденсатору с эффективным зарядом. Слова «амплитуда тока» и «потерями пренебречь» — сигнал применять сохранение энергии $LC$ -контура.

Где легко ошибиться

Приравнять к энергии катушки всю энергию электрического поля системы $\dfrac{3q^2}{2C}$ (три зазора с полем $E_0$ ) — тогда ответ получается в $\sqrt{3}$ раз больше, $1{,}47$ А. Это неверно физически: через катушку перетекает заряд только между пластинами 2 и 3, пара остаётся нейтральной и снаружи себя ничего не меняет, поэтому поле в зазорах 1–2 и 3–4 всё время равно $E_0$ и их энергия в катушку перейти не может. Та же ошибка в другой форме — решить, что раз пластины 2 и 3 «не заряжены», то конденсатор 2–3 не заряжен и ток не потечёт вовсе.

Источник и авторство

Физтех · физика · 11 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 10.1 (ID 5945).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Продвинутая подготовка

Поле проводящих пластин
Ёмкость
Энергия катушки
Колебания LC

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →