Физтех 2026/27 · Математика · 9 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

Сумма 4 действительных чисел равна 21, а сумма их квадратов равна 171. Какое наибольшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026)
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2026/27

Подбери какие-нибудь четыре числа с суммой $21$ и суммой квадратов $171$ Попробуй сделать наибольшее из них больше: что при этом приходится делать с остальными? В модели задавай числа ползунками и следи за двумя шкалами. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСтолбики и две суммы

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Столбики и две суммы

Насколько большим можно сделать наибольшее число, чтобы обе суммы остались как в условии?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Проверь набор 9, 8, 5, −1: сумма 21, сумма квадратов 81 + 64 + 25 + 1 = 171. Попробуй увеличить первое число до 10 или 11 и подобрать остальные три. Что мешает: сумма или сумма квадратов?

Подсказка 1

Пусть наибольшее число — $x$ Что известно про сумму и сумму квадратов остальных трёх чисел?

Подсказка 2

При заданной сумме трёх чисел их сумма квадратов наименьшая, когда числа равны: $a^2 + b^2 + c^2 \geqslant \dfrac{(a + b + c)^2}{3}$ . Отсюда $171 - x^2 \geqslant \dfrac{(21 - x)^2}{3}$ . Реши это неравенство.

Разобрать решение по шагам

Что остаётся на три других числа

Пусть $x$ — наибольшее из чисел, а остальные три — $a$ $b$ $c$ Тогда

a + b + c = 21 - x, \qquad a^2 + b^2 + c^2 = 171 - x^2.

Чем больше $x$ тем меньше остаётся на квадраты остальных: $171 - x^2$ уменьшается. Но три числа с суммой $21 - x$ не могут иметь сколь угодно маленькую сумму квадратов. Найдём, какую наименьшую — это и ограничит $x$

Сумма квадратов при заданной сумме

Раскроем квадрат суммы: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ . Тогда

\begin{aligned} &3(a^2 + b^2 + c^2) \\[0.45em] &\quad - (a + b + c)^2 \\[0.45em] &= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 \\[0.45em] &\quad - 2ab - 2bc - 2ca \\[0.45em] &= (a - b)^2 + (b - c)^2 \\[0.45em] &\quad + (c - a)^2 \geqslant 0. \end{aligned}

Значит,

a^2 + b^2 + c^2 \geqslant \frac{(a + b + c)^2}{3},

причём равенство — только когда $a = b = c$ Подставим суммы из шага 1:

171 - x^2 \geqslant \frac{(21 - x)^2}{3}.

Квадратное неравенство

Умножим на $3$ и раскроем скобки: $513 - 3x^2 \geqslant 441 - 42x + x^2$ . Перенесём всё в одну сторону:

\begin{aligned} &4x^2 - 42x - 72 \leqslant 0 \\[0.45em] &\Rightarrow 2x^2 - 21x - 36 \leqslant 0. \end{aligned}

Корни квадратного трёхчлена: дискриминант $21^2 + 8 \cdot 36 = 441 + 288 = 729 = 27^2$ , поэтому

x = \frac{21 \pm 27}{4}, \qquad x_1 = 12, \quad x_2 = -\frac{3}{2}.

Неравенство $(2x + 3)(x - 12) \leqslant 0$ выполнено при $-\dfrac{3}{2} \leqslant x \leqslant 12$ . В частности, $x \leqslant 12$ На рисунке: кривая — наименьшая возможная сумма квадратов при данном $x$ и она не выше $171$ только на зелёном отрезке.

Синяя кривая

x^2 + \frac{(21 - x)^2}{3}

— наименьшая сумма квадратов при первом числе

x

Она не выше

171

только на зелёном отрезке

-1{,}5 \leqslant x \leqslant 12

, где

171 - x^2 \geqslant \frac{(21 - x)^2}{3}

; поэтому

x \leqslant 12

x = 12

даёт набор

12, 3, 3, 3

Пример и ответ

Значение $12$ достигается, если в шаге 2 стоит равенство, то есть остальные три числа равны: $a = b = c = \dfrac{21 - 12}{3} = 3$ . Проверка набора $12, 3, 3, 3$

12 + 3 + 3 + 3 = 21, \qquad 144 + 9 + 9 + 9 = 171,

и $12$ действительно наибольшее. Ответ: $12$

Проверка

Пример $12, 3, 3, 3$ удовлетворяет обоим условиям. Тест модели берёт по $20\,000$ случайных наборов с нужными суммами для каждой версии и ни разу не находит наибольшее число больше ответа. Другие официальные версии (то же неравенство $Q - x^2 \geqslant \dfrac{(S - x)^2}{n - 1}$ ): ID 6350 ( $5$ чисел, сумма $26$ квадраты $164$ ): $164 - x^2 \geqslant \dfrac{(26 - x)^2}{4}$ , $5x^2 - 52x + 20 \leqslant 0$ , $x \leqslant \dfrac{52 + 48}{10} = 10$ , пример $10, 4, 4, 4, 4$ ID 6351 ( $3$ числа, $27$ $297$ ): $297 - x^2 \geqslant \dfrac{(27 - x)^2}{2}$ , $x^2 - 18x + 45 \leqslant 0$ , $(x - 3)(x - 15) \leqslant 0$ , $x \leqslant 15$ пример $15, 6, 6$ ID 6352 ( $6$ чисел, $19$ $101$ ): $101 - x^2 \geqslant \dfrac{(19 - x)^2}{5}$ , $3x^2 - 19x - 72 \leqslant 0$ , $x \leqslant \dfrac{19 + 35}{6} = 9$ , пример $9, 2, 2, 2, 2, 2$

Ответ

$12$

Ответ

$12$

Главная идея

При заданной сумме сумма квадратов наименьшая у равных чисел: $171 - x^2 \geqslant \dfrac{(21 - x)^2}{3}$ . Квадратное неравенство даёт $x \leqslant 12$ равенство — у набора $12, 3, 3, 3$

Известны сумма и сумма квадратов, нужен экстремум одного числа — остальные сделай равными: сумма квадратов не меньше $\dfrac{(\text{сумма})^2}{k}$ .

Где легко ошибиться

Оценить только x² ≤ 171 (x ≤ 13) и не учесть остальные числа; угадать ответ на целом примере без доказательства оценки; при решении квадратного неравенства взять не тот корень.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026). Задача 9, версия с ID 6349 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6350, 6351, 6352) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 9) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до сверки с указаниями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Указания к решению: математика, 9 класс, 2 попытка 2026/27», стр. 6 ↗: ID 6349: 12; ID 6350: 10; ID 6351: 15; ID 6352: 9.). Сверены все четыре официальные версии этого номера. Таблица официальных ответов была прочитана при разборе входных данных до собственного решения; указания к решению не открывались.

Продолжить тему: Неравенства и экстремумы →

Тема, знания и приёмы

Неравенства и экстремумы · Нужна школьная база

Квадрат суммы трёх чисел
Квадратные неравенства

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →