Задача 7. Нечётная сумма цифр в прогрессии

Четвёрки чисел

Числа на доске — это $1221 + 25k$ при $k = 0, 1, \ldots, 998$. Перебирать все $999$ чисел долго, поэтому ищем повторяющуюся картину. Четыре прибавления по $25$ дают ровно $100$, поэтому удобно разбить числа на четвёрки подряд: $k = 4j,\ 4j + 1,\ 4j + 2,\ 4j + 3$. Первое число четвёрки равно $1221 + 100j$ — оно оканчивается на $21$, а остальные получаются прибавлением $25$, $50$ и $75$:

Так как $21 + 75 = 96 < 100$, внутри четвёрки перехода через сотню нет: цифры начиная с сотен у всех четырёх чисел одинаковые (это цифры числа $12 + j$).

Чётность сумм цифр в четвёрке

Пусть $s$ — сумма цифр старшей части (общая для всей четвёрки). Тогда суммы цифр четырёх чисел равны

ведь $2 + 1 = 3$, $4 + 6 = 10$, $7 + 1 = 8$, $9 + 6 = 15$. Среди добавок $3, 10, 8, 15$ две нечётные и две чётные. Если $s$ чётно, нечётны суммы у чисел на $21$ и $96$; если $s$ нечётно — у чисел на $46$ и $71$. В обоих случаях в каждой четвёрке ровно два числа с нечётной суммой цифр.

Сколько полных четвёрок

Делим количество чисел на $4$: $999 = 4 \cdot 249 + 3$. Полные четвёрки ($j = 0, \ldots, 248$) занимают числа с $k = 0$ по $k = 995$ и дают $249 \cdot 2 = 498$ нужных чисел. Остаются три последних числа, $k = 996, 997, 998$:

Их суммы цифр $12$, $19$, $17$ — нечётных две.

Ответ

Всего $498 + 2 = 500$ чисел с нечётной суммой цифр.