Физтех 2026/27 · Математика · 9 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

На приведённом чертеже треугольники $AED$ $BFE$ $CGF$ являются равносторонними, а два отмеченных угла имеют градусную меру $150^\circ$ Найдите сторону $DE$ если $AB=13$ $FG=9$ а периметр пятиугольника $DABCG$ на 16 больше периметра четырёхугольника $DEFG$

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026)
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2026/27

Выпиши оба периметра по сторонам и посмотри, какие слагаемые у них общие или равные. В модели подбирай $DE$ и $EF$ и следи за $AB$ и за разностью периметров. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодбор сторон DE и EF

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подбор сторон DE и EF

При каких DE и EF отрезок AB и разность периметров станут как в условии?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Начерти DEFG с углами 150° при E и F, построй равносторонние треугольники на DE, EF, FG и измерь транспортиром угол AEB. Сравни, какие стороны входят в оба периметра.

Подсказка 1

Сравни периметры: $P(DABCG) = DA + AB + BC + CG + GD$ и $P(DEFG) = DE + EF + FG + GD$ . Какие стороны у них общие или равные? Что останется от разности?

Подсказка 2

Посчитай угол $AEB$ вокруг точки $E$ лежат углы $DEA$ $AEB$ $BEF$ и $DEF$ вместе $360^\circ$ Какой получается треугольник $AEB$ Запиши теорему Пифагора для $AB$ и для $BC$

Разобрать решение по шагам

Разность периметров

Неизвестных длин много, поэтому сначала уберём лишние. Периметр пятиугольника $DABCG$ — это сумма сторон $DA$ $AB$ $BC$ $CG$ $GD$ а периметр четырёхугольника $DEFG$ — сумма сторон $DE$ $EF$ $FG$ $GD$

Треугольник $AED$ равносторонний, поэтому $DA = DE$ треугольник $CGF$ равносторонний, поэтому $CG = FG$ сторона $GD$ общая. При вычитании эти слагаемые сокращаются, и разность периметров $P(DABCG) - P(DEFG)$ равна $AB + BC - EF$ По условию она равна $16$

AB + BC - EF = 16.

Так как $AB = 13$ получаем $BC = EF + 3$

Прямые углы при E и F

Чтобы связать $AB$ и $BC$ с известными сторонами, посмотрим на углы вокруг точки $E$ Треугольники построены снаружи четырёхугольника, поэтому углы $DEA$ $AEB$ $BEF$ и $DEF$ не налегают друг на друга и вместе составляют полный угол $360^\circ$ Углы равносторонних треугольников равны $60^\circ$ поэтому три известных угла вместе составляют $\angle DEA + \angle BEF + \angle DEF = 60^\circ + 60^\circ + 150^\circ = 270^\circ$ , и

\angle AEB = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ.

Точно так же вокруг точки $F$ $\angle BFC = 360^\circ - 60^\circ - 60^\circ - 150^\circ = 90^\circ$ .

∠AEB = ∠BFC = 90°: AB² = DE² + EF², BC² = EF² + FG².

Теорема Пифагора дважды

Обозначим $DE = x$ $EF = y$ В равносторонних треугольниках $AE = DE = x$ $BE = BF = EF = y$ $CF = FG = 9$ Треугольники $AEB$ и $BFC$ прямоугольные, $AB$ и $BC$ — их гипотенузы:

AB^2 = AE^2 + BE^2 = x^2 + y^2,

BC^2 = BF^2 + CF^2 = y^2 + 81.

Находим EF, затем DE

Подставим $BC = y + 3$ во второе равенство:

\begin{aligned} &(y + 3)^2 = y^2 + 81 \\[0.45em] &\Rightarrow y^2 + 6y + 9 = y^2 + 81 \\[0.45em] &\Rightarrow 6y = 72 \Rightarrow y = 12. \end{aligned}

Теперь из первого равенства при $AB = 13$

x^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25,

откуда $x = 5$

Получилось $DE = 5$ $EF = 12$ $BC = 15$

Проверка

Проверка: $AB = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ , $BC = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15$ , разность периметров $AB + BC - EF = 13 + 15 - 12 = 16$ — как в условии. Тест модели строит чертёж по координатам при $DE = 5$ $EF = 12$ $FG = 9$ и измеряет $AB$ $BC$ оба периметра и углы. Другие официальные версии решаются так же: ID 6338 ( $AB = 17$ $FG = 20$ разность $27$ ): $BC = EF + 10$ $EF = 15$ $DE = 8$ ID 6339 ( $AB = 25$ $FG = 21$ разность $34$ ): $BC = EF + 9$ $EF = 20$ $DE = 15$ ID 6340 ( $AB = 65$ $FG = 12$ разность $69$ ): $BC = EF + 4$ $EF = 16$ $DE = 63$

Ответ

$DE = 5$

Ответ

$DE = 5$

Главная идея

Равные стороны сокращаются: разность периметров равна AB + BC − EF. Углы вокруг E и F дают ∠AEB = ∠BFC = 90°, и теорема Пифагора связывает AB и BC со сторонами DE, EF, FG.

Равносторонние треугольники на сторонах и заданные углы при общей вершине — посчитай угол между соседними треугольниками через полный угол 360°.

Где легко ошибиться

Не заметить, что DA = DE и CG = FG, и пытаться найти GD; считать угол AEB без учёта угла 150°; забыть, что BC = EF + (разность − AB), а не EF + разность.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026). Задача 6, версия с ID 6337 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6338, 6339, 6340) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до сверки с указаниями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Указания к решению: математика, 9 класс, 2 попытка 2026/27», стр. 4–5 ↗: ID 6337: 5; ID 6338: 8; ID 6339: 15; ID 6340: 63.). Сверены все четыре официальные версии этого номера. Таблица официальных ответов была прочитана при разборе входных данных до собственного решения; указания к решению не открывались.

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Нужна школьная база

Свойства равностороннего треугольника
Сумма углов вокруг точки
Теорема Пифагора

Приёмы решения: Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →