Задача 8. Прямоугольник на сторонах прямоугольника

Где стоят точки R и S

Обозначим $DA = h$ и введём координаты: $D = (0, 0)$, $C = (14, 0)$, $B = (14, h)$, $A = (0, h)$. Тогда $P = (12, 0)$, так как $DP = CD - CP = 12$. Пусть $Q = (0, q)$, $R = (r, h)$, $S = (14, s)$.

У прямоугольника (как у любого параллелограмма) диагонали $PR$ и $QS$ делятся точкой пересечения пополам, поэтому их середины совпадают:

Отсюда $r = 2$, то есть $AR = 2 = CP$, и $s = h - q$, то есть $CS = AQ$.

Прямой угол при Q: подобные треугольники

Обозначим $DQ = q$ и $AQ = t$, так что $h = q + t$. В треугольниках $DPQ$ и $AQR$ углы при $D$ и $A$ прямые. Угол $PQR$ прямой, поэтому $\angle DQP + \angle AQR = 90^\circ$; но и $\angle DQP + \angle DPQ = 90^\circ$. Значит, $\angle DPQ = \angle AQR$, и треугольники подобны:

откуда $DQ \cdot AQ = DP \cdot AR$, то есть

Площадь даёт второе уравнение

Площадь $PQRS$ — это площадь $ABCD$ без четырёх угловых прямоугольных треугольников. Треугольники $DPQ$ и $BRS$ равны: катеты $DP = BR = 12$ и $DQ = BS = q$. Треугольники $AQR$ и $CSP$ тоже равны: катеты $AR = CP = 2$ и $AQ = CS = t$. Поэтому

Площадь равна $80$: $\;12t + 2q = 80$.

Решаем и выбираем наименьшее DA

Из шага 2 $q = \dfrac{24}{t}$. Подставим:

Получаем $t = 6$ или $t = \dfrac{2}{3}$. В первом случае $q = \dfrac{24}{6} = 4$ и $h = q + t = 10$. Во втором $q = 36$ и $h = 36 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{110}{3} \approx 36{,}7$.

Оба прямоугольника существуют (точки $Q$, $R$, $S$ лежат на сторонах). Наименьшее значение $DA = 10$.

Проверка другим путём: по теореме Пифагора $PQ^2 = 144 + q^2$, $QR^2 = 4 + t^2$, и $(144 + q^2)(4 + t^2) = 80^2$ при $qt = 24$ сводится к биквадратному уравнению $9t^4 - 328t^2 + 144 = 0$ с корнями $t^2 = 36$ и $t^2 = \dfrac{4}{9}$ — те же два прямоугольника.