Задача 1. Наборы параллельных прямых

Точки — это пары прямых из разных наборов

Чтобы считать точки, свяжем каждую точку с парой прямых, которые через неё проходят.

Две прямые одного набора параллельны, общих точек у них нет. Две прямые из разных наборов не параллельны и пересекаются ровно в одной точке.

Через каждую точку пересечения проходят ровно две прямые: если бы прямых было три или больше, нарушилось бы условие «никакие три прямые не пересекаются в одной точке». Значит, разные пары прямых дают разные точки, и число точек равно числу пар прямых из разных наборов.

Сколько точек дают два набора

Возьмём наборы с номерами $i$ и $j$. Каждая из $i$ прямых первого набора пересекает каждую из $j$ прямых второго — получается $i \cdot j$ пар, то есть $i \cdot j$ точек. Например, для $1$, $2$ и $3$ прямых (рисунок ниже) точек $1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 2 + 3 + 6 = 11$.

Для $10$ наборов нужно сложить $i \cdot j$ по всем $45$ парам наборов $i < j$:

Сумма произведений через квадрат суммы

Складывать $45$ произведений долго, поэтому используем приём. Обозначим сумму чисел и сумму их квадратов: $S_1 = 1 + 2 + \ldots + 10$, $S_2 = 1^2 + 2^2 + \ldots + 10^2$. Раскроем скобки в квадрате суммы $S_1^2 = (1 + 2 + \ldots + 10)^2$: получатся все произведения $i \cdot j$. Произведения одинаковых чисел дают квадраты $1^2, 2^2, \ldots, 10^2$, то есть $S_2$, а каждое произведение двух разных чисел встречается дважды ($i \cdot j$ и $j \cdot i$):

Отсюда

Подсчёт

По формулам суммы первых чисел и суммы их квадратов:

Получаем

Проверим другим путём. Всего прямых $55$, пар прямых $\dfrac{55 \cdot 54}{2} = 1485$. Из них не пересекаются только пары внутри одного набора: в наборе $k$ таких пар $\dfrac{k(k-1)}{2}$, а всего $0 + 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45 = 165$. Остаётся $1485 - 165 = 1320$ — то же число.