На плоскости даны $10$ наборов попарно различных параллельных прямых, причём прямые из двух разных наборов не параллельны и никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Петя пронумеровал наборы и заметил, что в наборе с номером $k$ ровно $k$ прямых. Найдите общее количество точек пересечения этих прямых.

Сколько существует пар натуральных чисел $(a;b)$ с $1 \leqslant a < b \leqslant 30$, для которых произведение $ab$ делится на сумму $a + b$?

В треугольник $ABC$ со сторонами $BC = 13$, $CA = 14$, $AB = 15$ вписана окружность $\Omega$. В угол $A$ вписана ещё одна окружность $\omega$, касающаяся прямых $AB$ и $AC$ и внешним образом касающаяся $\Omega$. Найдите наибольшее значение, которое может принимать её радиус. Ответ округлите до трёх знаков после запятой.

Для составления гирлянды в ряд выставляют 10 ёлочных шаров: 4 красных, 2 синих, 2 золотых и 2 серебряных; шары одного цвета неразличимы. Гирлянду считают удачной, если каждый шар соседствует хотя бы с одним шаром того же цвета. Сколько существует различных удачных расстановок?

Пусть $S$ — такое подмножество множества $\{1,2,\ldots,1500\}$, что в нём нет двух чисел, отличающихся ровно в 3 раза. Какое наибольшее количество элементов может быть в $S$?

На приведённом чертеже треугольники $AED$, $BFE$, $CGF$ являются равносторонними, а два отмеченных угла имеют градусную меру $150^\circ$. Найдите сторону $DE$, если $AB=13$, $FG=9$, а периметр пятиугольника $DABCG$ на 16 больше периметра четырёхугольника $DEFG$.

Вася написал на доску число 1221. После этого он стал дописывать на доску числа, прибавляя 25 к только что выписанному. Когда Вася закончил, на доске оказалось выписано 999 чисел, включая исходное. У скольких из этих чисел нечётная сумма цифр?

На стороне $CD$ прямоугольника $ABCD$ отмечена точка $P$. Известно, что $CD=14$, а $CP=2$. Точки $Q$, $R$ и $S$ отмечены на сторонах $DA$, $AB$ и $BC$ соответственно так, что $PQRS$ — прямоугольник. Найдите наименьшее возможное значение стороны $DA$, если площадь прямоугольника $PQRS$ равна 80.

Сумма 4 действительных чисел равна 21, а сумма их квадратов равна 171. Какое наибольшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?

Сколько среди чисел $1,2,\ldots,200$ таких $n$, что $n$ делится на $[\sqrt{n}]$? Здесь $[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$.