Физтех 2026/27 · Математика · 9 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

Для составления гирлянды в ряд выставляют 10 ёлочных шаров: 4 красных, 2 синих, 2 золотых и 2 серебряных; шары одного цвета неразличимы. Гирлянду считают удачной, если каждый шар соседствует хотя бы с одним шаром того же цвета. Сколько существует различных удачных расстановок?

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026)
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2026/27

Начни с маленькой гирлянды: 2 красных, 2 синих и 2 золотых шара — сколько у неё удачных расстановок? Потом подумай, как могут стоять четыре красных шара в удачной гирлянде. В модели меняй шары местами и ищи удачные гирлянды. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеГирлянда из ёлочных шаров

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Гирлянда из ёлочных шаров

Сколько разных удачных гирлянд можно составить из этих шаров?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Выпиши несколько рядов из букв К, К, К, К, С, С, Ж, Ж, Б, Б (К — красный, С — синий, Ж — золотой, Б — серебряный), например ККССККЖЖББ и ККСКСКЖЖББ. Подчеркни куски подряд идущих одинаковых букв. Какой длины должны быть эти куски в удачной гирлянде?

Подсказка 1

Что значит «каждый шар соседствует с шаром своего цвета», если шаров этого цвета ровно два? А если их четыре — какими группами соседей они могут стоять?

Подсказка 2

Расставляй не шары, а блоки — куски подряд идущих шаров одного цвета. Каждый блок должен быть длиной не меньше $2$ Четыре красных — это либо один блок из четырёх, либо два блока по два, которые не стоят рядом (иначе это тот же ряд с блоком из четырёх).

Разобрать решение по шагам

Шары стоят блоками

Переставлять по одному $10$ шаров долго, поэтому посмотрим, как устроена удачная гирлянда целиком. Обозначим цвета буквами: К — красный, С — синий, Ж — золотой, Б — серебряный. Разобьём ряд на блоки — самые длинные куски подряд идущих шаров одного цвета. Соседние блоки всегда разного цвета (иначе они были бы одним блоком).

Шар соседствует с шаром своего цвета ровно тогда, когда его блок состоит хотя бы из двух шаров. Значит, гирлянда удачная $\iff$ все блоки длиной не меньше $2$

Синих, золотых и серебряных шаров по два — каждый такой цвет образует ровно один блок из двух: СС, ЖЖ, ББ.
Четыре красных шара делятся на блоки длиной не меньше $2$ только двумя способами: $4 = 4$ или $4 = 2 + 2$ (вариант $3 + 1$ не годится — одиночный красный шар остался бы без пары).

Получаем два случая: красные стоят одним блоком КККК или двумя блоками КК и КК, которые не соседствуют (два соседних блока КК — это на самом деле один блок КККК).

Удачная гирлянда однозначно задаётся порядком своих блоков, и наоборот — порядок блоков однозначно задаёт гирлянду. Поэтому дальше считаем порядки блоков.

Красные одним блоком

Блоков четыре, и все они разные: КККК, СС, ЖЖ, ББ. Соседние блоки здесь всегда разного цвета, поэтому подходит любой порядок. Число порядков четырёх разных предметов:

4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24.

Красные двумя парами

Теперь блоков пять: КК, КК, СС, ЖЖ, ББ. Если бы два красных блока были разными (скажем, пронумерованными), порядков было бы $5! = 120$ Но блоки КК одинаковые: перестановка их между собой не меняет гирлянду, поэтому каждая гирлянда посчитана дважды. Различных порядков

\frac{5!}{2} = \frac{120}{2} = 60.

Среди них есть порядки, где два блока КК стоят рядом. Это не новые гирлянды: там красные на самом деле стоят одним блоком КККК, и такие гирлянды уже посчитаны в шаге 2. Чтобы не посчитать их дважды, вычтем их. «Склеим» два соседних блока КК в один — получится четыре разных блока, их порядков $4! = 24$ Остаётся

\frac{5!}{2} - 4! = 60 - 24 = 36.

Ответ

Случаи не пересекаются (в первом красные стоят одним блоком, во втором — двумя несоседними), поэтому складываем:

24 + 36 = 60.

Проверка

Тест модели перебирает все $\dfrac{10!}{4!\,2!\,2!\,2!} = 18\,900$ различных расстановок шаров и находит ровно $60$ удачных: $24$ с блоком из четырёх красных и $36$ с двумя несоседними парами. Другие официальные версии (тот же разбор по блокам): ID 6330 (ещё $2$ зелёных, всего $12$ шаров): красные одним блоком — $5! = 120$ двумя парами — $\dfrac{6!}{2} - 5! = 360 - 120 = 240$ , всего $360$ ID 6331 ( $4$ красных, $4$ синих, $2$ золотых, $2$ серебряных): оба цвета одним блоком — $4! = 24$ красные парами, синие одним блоком — $\dfrac{5!}{2} - 4! = 36$ наоборот — тоже $36$ оба цвета парами — $\dfrac{6!}{2 \cdot 2} - \dfrac{5!}{2} - \dfrac{5!}{2} + 4! = 180 - 60 - 60 + 24 = 84$ (вычитаем порядки с соседними КК и с соседними СС, возвращаем те, где рядом и те и другие); всего $24 + 36 + 36 + 84 = 180$ ID 6332 ( $4$ красных, $4$ синих, $2$ золотых): $3! = 6$ $\dfrac{4!}{2} - 3! = 6$ ещё $6$ $\dfrac{5!}{2 \cdot 2} - \dfrac{4!}{2} - \dfrac{4!}{2} + 3! = 30 - 12 - 12 + 6 = 12$ ; всего $30$

Ответ

$60$

Ответ

$60$

Главная идея

Гирлянда удачна, когда все блоки одного цвета длиной не меньше 2. Пары дают по одному блоку, четыре красных — один блок или два несоседних блока по два; считаем порядки блоков: 4! + (5!/2 − 4!) = 24 + 36 = 60.

Условие «у каждого есть сосед того же вида» — переходи от отдельных предметов к блокам длиной не меньше 2 и считай перестановки блоков.

Где легко ошибиться

Посчитать 5!/2 = 60 расстановок двух пар красных и прибавить ещё 4! = 24 — получится 84 (ряды с блоком из четырёх красных посчитаны дважды); или не делить на 2 при перестановке одинаковых блоков КК.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026). Задача 4, версия с ID 6329 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6330, 6331, 6332) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до сверки с указаниями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Указания к решению: математика, 9 класс, 2 попытка 2026/27», стр. 3 ↗: ID 6329: 60; ID 6330: 360; ID 6331: 180; ID 6332: 30.). Сверены все четыре официальные версии этого номера. Таблица официальных ответов была прочитана при разборе входных данных до собственного решения; указания к решению не открывались.

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

Перестановки и факториал
Перестановки с одинаковыми предметами

Приёмы решения: Разбор случаев · Последовательный подсчёт без повторов · Подсчёт дополнения

Задать вопрос по задаче →