Задача 6. Две хорды через точку: дуги фиксированы, хорды — нет

Что такое Φ

Пусть $N = \left(3\sqrt{2}\sin \alpha;\ 3\sqrt{2}\cos \alpha\right)$. Тогда $|ON|^2 = 18 \cdot (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = 18 < 25$: точка $N$ лежит внутри круга радиуса $R = 5$. Прямые $x = x_N$ и $y = y_N$ — две перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$ через $N$, они делят круг на четыре части. Неравенство $(x - x_N)(y - y_N) \leqslant 0$ выделяет две противоположные части (левую верхнюю и правую нижнюю), которые касаются друг друга только в точке $N$.

Дуги: всегда полуокружность

Граница $\Phi$ — две дуги $AC$ и $BD$ и две хорды $AB$, $CD$. Угол между хордами прямой, поэтому вписанный угол, опирающийся на дугу $AC$, и угол, опирающийся на дугу $BD$, в сумме дают $90^\circ$: вместе дуги $AC$ и $BD$ составляют $180^\circ$. Значит,

при любом $\alpha$.

Хорды: оценка суммы

Расстояния от $O$ до хорд: $\rho_1 = \left|3\sqrt{2}\sin \alpha\right|$, $\rho_2 = \left|3\sqrt{2}\cos \alpha\right|$, $\rho_1^2 + \rho_2^2 = 18$. Длины хорд $AB = 2\sqrt{25 - \rho_1^2}$, $CD = 2\sqrt{25 - \rho_2^2}$. По неравенству $\dfrac{a + b}{2} \leqslant \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$:

то есть $\Sigma_2 = AB + CD \leqslant 16$.

Когда достигается равенство

Равенство в неравенстве о средних — при $\sqrt{25 - \rho_1^2} = \sqrt{25 - \rho_2^2}$, то есть $\rho_1 = \rho_2$, $|\sin \alpha| = |\cos \alpha|$, $|\operatorname{tg} \alpha| = 1$:

Тогда $\rho_1 = \rho_2 = 3$, обе хорды равны $8$, и $M = 5\pi + 16$.