Физтех 2024/25 · Математика · 11 кл., №5 — решение · финал

Условие

Точка $O$ — центр окружности $\omega_1$ описанной около остроугольного треугольника $ABC$ Окружность $\omega_2$ описанная около треугольника $BOC$ пересекает отрезок $AB$ в точке $P$ Найдите площадь треугольника $ABC$ если $AP = \dfrac{15}{2}$ $BP = 5$ $AC = 9$

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 1
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Запиши свою площадь. Потом посмотри в модели, какие углы на рисунке равны и какие отрезки оказываются равными.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОкружность через центр

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Окружность через центр

Какие углы равны на рисунке — и какой отрезок равен AP?

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй остроугольный треугольник, его центр описанной окружности O и окружность через B, O, C. Измерь углы BOC и BPC транспортиром.

Подсказка 1

Обозначь $\angle BAC = \alpha$ Угол $BOC$ — центральный для $\omega_1$ чему он равен? А угол $BPC$ вписан в $\omega_2$ и опирается на ту же дугу $BC$ что и угол $BOC$

Подсказка 2

$\angle BPC = \angle BOC = 2\alpha$ . Угол $BPC$ — внешний для треугольника $ACP$ поэтому $\angle ACP = 2\alpha - \alpha = \alpha$ : треугольник $ACP$ равнобедренный, $CP = AP$ Из него найди $\cos \alpha$ (опусти высоту на $AC$ ), затем $S = \dfrac{1}{2} AB \cdot AC \sin \alpha$ .

Разобрать решение по шагам

Два равных угла

Пусть $\angle BAC = \alpha$ В окружности $\omega_1$ угол $BOC$ центральный, а $BAC$ вписанный, оба опираются на дугу $BC$ (треугольник остроугольный, $O$ внутри него): $\angle BOC = 2\alpha$

В окружности $\omega_2$ углы $BOC$ и $BPC$ вписанные и опираются на одну дугу $BC$ ( $P$ и $O$ лежат по одну сторону от $BC$ ): $\angle BPC = \angle BOC = 2\alpha$ .

Треугольник ACP равнобедренный

Угол $BPC$ — внешний угол треугольника $ACP$ при вершине $P$ $\angle BPC = \angle PAC + \angle ACP$ , откуда $\angle ACP = 2\alpha - \alpha = \alpha$ . Значит, $CP = AP = \dfrac{15}{2}$

Угол BOC = 2α как центральный, угол BPC = 2α как вписанный в ω₂ на ту же дугу; внешний угол даёт ∠ACP = α, и PC = PA.

Косинус и синус α

В равнобедренном треугольнике $ACP$ высота из $P$ делит основание $AC$ пополам: $\cos \alpha = \dfrac{AC/2}{AP} = \dfrac{4{,}5}{7{,}5} = \dfrac{3}{5}$ , $\sin \alpha = \dfrac{4}{5}$ .

Площадь

$AB = AP + BP = \dfrac{15}{2} + 5 = \dfrac{25}{2}$ .

S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot 9 \cdot \frac{4}{5} = 45.

Проверка

Правила модели строят треугольник по $AB = \dfrac{25}{2}$ $AC = 9$ и $\cos \alpha = \dfrac{3}{5}$ , находят центр $O$ описанной окружности и окружность через $B$ $O$ $C$ и пересекают её с прямой $AB$ независимо от рассуждения о равнобедренном треугольнике: вторая точка пересечения отстоит от $A$ ровно на $\dfrac{15}{2}$ углы $BOC$ и $BPC$ равны $2\alpha$ $\angle ACP = \alpha$ треугольник остроугольный, площадь $45$ То же для варианта $2$ ( $\cos \alpha = \dfrac{5}{8}$ , $S = \dfrac{13\sqrt{39}}{10}$ ) и для произвольных пробных данных.

Ответ

$S_{ABC} = 45$

Ответ

$S_{ABC} = 45$

Главная идея

∠BOC = 2α (центральный), ∠BPC = ∠BOC (вписанные в ω₂), внешний угол даёт ∠ACP = α ⇒ CP = AP ⇒ cos α = (AC/2)/AP = 3/5 ⇒ S = ½·AB·AC·sin α = 45.

Окружность через центр описанной окружности и две вершины — ищи угол 2α и равные вписанные углы; «внешний угол минус угол» часто даёт равнобедренный треугольник.

Где легко ошибиться

Принять ∠BPC = α вместо 2α; забыть, что для остроугольного треугольника O внутри и ∠BOC = 2A (а не 360° − 2A); перепутать AB с BP.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 1, задача 5. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 2): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Окружности и касательные →

Тема, знания и приёмы

Окружности и касательные · Начальный вход

Центральный и вписанный углы
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу
Внешний угол треугольника
Площадь через две стороны и синус

Приёмы решения: Дополнительное построение · Подобие треугольников

Задать вопрос по задаче →