Задача 3. Две семьи прямых и прямоугольник целых точек

Сворачиваем уравнение

$\sin^2 \pi x + \sin \pi x \sin \pi y = \cos^2 \pi x + \cos \pi x \cos \pi y$, откуда

Сумма косинусов: $\cos 2\pi x + \cos \pi(x + y) = 2\cos \dfrac{\pi(3x + y)}{2}\cos \dfrac{\pi(x - y)}{2} = 0$.

Ответ пункта а)

$\dfrac{\pi(x - y)}{2} = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$ или $\dfrac{\pi(3x + y)}{2} = \dfrac{\pi}{2} + \pi m$, то есть

Это две семьи параллельных прямых.

Целые точки: одно условие на чётность

Для целых $x, y$ первая семья означает «$x - y$ нечётно», вторая — «$3x + y$ нечётно». Но $3x + y$ и $x - y$ отличаются на $2x + 2y$ — чётное число, поэтому условия совпадают: подходят ровно те целые пары, у которых $x$ и $y$ разной чётности.

Что даёт неравенство

$\arcsin t \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$, $\arccos t \in [0; \pi]$, поэтому сумма $\arcsin \dfrac{x}{5} + \arccos \dfrac{y}{4}$ не превосходит $\dfrac{3\pi}{2}$ и равна $\dfrac{3\pi}{2}$ только при $\dfrac{x}{5} = 1$, $\dfrac{y}{4} = -1$. Неравенство строгое, значит: $-5 \leqslant x \leqslant 5$, $-4 \leqslant y \leqslant 4$ (области определения) и $(x; y) \ne (5; -4)$.

Подсчёт

В прямоугольке $11 \times 9$ целых точек. Чётных $x$ пять ($-4, -2, 0, 2, 4$), для каждого нечётных $y$ четыре ($\pm 1, \pm 3$): $5 \cdot 4 = 20$. Нечётных $x$ шесть ($\pm 1, \pm 3, \pm 5$), чётных $y$ пять ($0, \pm 2, \pm 4$): $6 \cdot 5 = 30$. Итого $50$ пар разной чётности; точка $(5; -4)$ среди них (она разной чётности) и исключается: $50 - 1 = 49$.