Задача 1. Квадрат из трёх чисел: 1111 = 11 · 101

Разложение A

$A = \overline{dddd} = d \cdot 1111 = d \cdot 11 \cdot 101$, где $d$ — цифра от $1$ до $9$. Числа $11$ и $101$ простые.

Где ещё взять 101 и 11

В точном квадрате каждое простое число входит в чётной степени. Множитель $101$ из $A$ должен повториться в $B$ или $C$. Двузначное $C < 101$ не делится на $101$, значит $101 \mid B$. Трёхзначные кратные $101$: $101, 202, 303, \ldots, 909$ — цифру $2$ содержит только $B = 202$.

Множитель $11$ тоже нужен ещё раз. $B = 202 = 2 \cdot 101$ на $11$ не делится, значит $11 \mid C$. Двузначные кратные $11$: $11, 22, \ldots, 99$ — цифру $3$ содержит только $C = 33$.

Подбор цифры d

Произведение — квадрат тогда и только тогда, когда $6d$ — квадрат. Для цифры $d$ от $1$ до $9$ число $6d$ ($6, 12, \ldots, 54$) является квадратом только при $d = 6$: $6 \cdot 6 = 36$.

Ответ и проверка

$A = 6666$, $B = 202$, $C = 33$: $6666 \cdot 202 \cdot 33 = 6^2 \cdot 11^2 \cdot 101^2 = 6666^2$ — действительно квадрат.