Математика · 11 класс

Найдите все тройки натуральных чисел $(A;\ B;\ C)$ такие, что:

• $A$ — четырёхзначное число, составленное из одинаковых цифр,
• $B$ — трёхзначное число, хотя бы одна из цифр которого равна $2$,
• $C$ — двузначное число, хотя бы одна из цифр которого равна $3$,
• произведение $A \cdot B \cdot C$ является квадратом некоторого натурального числа.

Положительные числа $x$ и $y$ таковы, что значение выражения $K = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{xy}$ не изменяется, если $x$ уменьшить на $1$, а $y$ — увеличить на $1$. Найдите все возможные значения выражения $M = x^3 - y^3 - 3xy$.

а) Найдите все пары действительных чисел $(x;\ y)$ такие, что $(\sin \pi x + \sin \pi y)\sin \pi x = (\cos \pi x + \cos \pi y)\cos \pi x$.

б) Сколько пар целых чисел $(x,\ y)$ удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству $\arcsin \dfrac{x}{5} + \arccos \dfrac{y}{4} < \dfrac{3\pi}{2}$?

В начале месяца было выделено $4$ билета на праздничный концерт, которые планировалось случайным образом распределить между одиннадцатиклассниками. В конце месяца выяснилось, что будет выделено больше $4$ билетов. Одиннадцатиклассники Петя и Вася вычислили, что вероятность им обоим вместе попасть на концерт в начале месяца была в $2{,}5$ раза меньше, чем оказалась в конце месяца. Сколько всего было выделено билетов на концерт в конце месяца, если количество одиннадцатиклассников не изменилось?

Точка $O$ — центр окружности $\omega_1$, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. Окружность $\omega_2$, описанная около треугольника $BOC$, пересекает отрезок $AB$ в точке $P$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AP = \dfrac{15}{2}$, $BP = 5$, $AC = 9$.

На координатной плоскости изображена фигура $\Phi(\alpha)$, состоящая из всех точек, координаты $(x;\ y)$ которых удовлетворяют системе неравенств

Найдите максимальное значение $M$ периметра (длины границы) фигуры $\Phi(\alpha)$ и укажите все значения $\alpha$, при которых оно достигается.

Шар $\Omega$ касается всех рёбер правильной усечённой пирамиды, а шар $\omega$ касается всех её граней. Пусть сторона верхнего основания меньше, чем сторона нижнего. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади её нижнего основания.