Физтех 2024/25 · Математика · 11 кл., №2 — решение · финал

Условие

Положительные числа $x$ и $y$ таковы, что значение выражения $K = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{xy}$ не изменяется, если $x$ уменьшить на $1$ а $y$ — увеличить на $1$ Найдите все возможные значения выражения $M = x^3 - y^3 - 3xy$

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 1
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Запиши своё значение $M$ (или несколько). Потом подбери в модели пары $(x; y)$ для которых $K$ не меняется, и посмотри, что у них общего.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСдвинь x и y

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Сдвинь x и y

Для каких пар (x; y) значение K не меняется — и что общего у этих пар?

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми x = 2, y = 1 и x = 3, y = 2: посчитай K до и после сдвига и M.

Подсказка 1

Приведи $K$ к общему знаменателю: числитель получится $x + y + 2$ Что происходит с этим числителем, когда $x$ уменьшают на $1$ а $y$ увеличивают на $1$

Подсказка 2

Числитель $x + y + 2$ при сдвиге не меняется, поэтому $K$ сохраняется ровно тогда, когда равны знаменатели: $xy = (x - 1)(y + 1)$ Раскрой скобки — получится связь между $x$ и $y$ Затем выдели в $M$ куб разности $x - y$

Разобрать решение по шагам

Общий знаменатель

$K = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{xy} = \dfrac{x + y + 2}{xy}.$

После замены $x \to x - 1$ $y \to y + 1$ числитель становится $(x - 1) + (y + 1) + 2 = x + y + 2$ — тем же самым (числа положительны, поэтому $x - 1 > 0$ по условию, и всё определено).

Равенство знаменателей

Числитель $x + y + 2 > 0$ одинаков, значит $K$ не меняется тогда и только тогда, когда $xy = (x - 1)(y + 1)$

xy = xy + x - y - 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x - y = 1.

Вычисление M

$x^3 - y^3 = (x - y)^3 + 3xy(x - y)$ (раскрой куб разности). При $x - y = 1$

M = (x - y)^3 + 3xy(x - y) - 3xy = 1 + 3xy - 3xy = 1.

Значение $M$ одно и то же для всех подходящих пар, например $(x; y) = (2; 1)$ $8 - 1 - 6 = 1$

Проверка

Правила модели вычисляют $K(x, y)$ и $K(x - 1, y + 1)$ напрямую: для пар $(y + 1; y)$ при $y = 0{,}5;\ 1;\ 2{,}7;\ 10$ значения совпадают и $M = 1$ для пар с $x - y \ne 1$ значения $K$ различаются, а $M \ne 1$ Для варианта $2$ ( $\dfrac{1}{xy}$ сдвиг на $3$ $M = x^3 - y^3 - 9xy$ ) та же проверка даёт $x - y = 3$ и $M = 27$

Ответ

$M = 1$

Ответ

$M = 1$

Главная идея

K = (x + y + 2)/(xy), числитель от сдвига не меняется — значит, равны знаменатели: x − y = 1, и M = (x − y)³ = 1.

«Выражение не меняется при замене» — сравни числители и знаменатели после замены, а не вычисляй всё заново.

Где легко ошибиться

Раскрывать все дроби и терять множитель x + y + 2 (у официального решения он возникает как (x + y + 2)(y − x + 1) = 0); не заметить формулу x³ − y³ = (x − y)³ + 3xy(x − y).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 1, задача 2. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 2): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Преобразования выражений →

Тема, знания и приёмы

Преобразования выражений · Нужна школьная база

Сложение дробей
Куб разности
Тождественные преобразования

Приёмы решения: Разложение на множители · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →