Физтех 2024/25 · Математика · 11 кл., №4 — решение · финал

Условие

В начале месяца было выделено $4$ билета на праздничный концерт, которые планировалось случайным образом распределить между одиннадцатиклассниками. В конце месяца выяснилось, что будет выделено больше $4$ билетов. Одиннадцатиклассники Петя и Вася вычислили, что вероятность им обоим вместе попасть на концерт в начале месяца была в $2{,}5$ раза меньше, чем оказалась в конце месяца. Сколько всего было выделено билетов на концерт в конце месяца, если количество одиннадцатиклассников не изменилось?

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 1
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Число учеников не дано — подумай, почему оно не нужно. Запиши своё число билетов, потом проверь в модели для разных размеров класса.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКому достанутся билеты

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Кому достанутся билеты

Как вероятность для Пети и Васи зависит от числа билетов — и почему размер класса не важен?

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми класс из 7 учеников: выпиши все наборы из 4 и из 6 человек и посчитай, в скольких есть и Петя, и Вася.

Подсказка 1

Пусть учеников $N$ билетов $m$ Выбирается $m$ человек из $N$ равновозможно. Сколько исходов всего и сколько таких, где среди выбранных есть и Петя, и Вася?

Подсказка 2

$P(m) = \dfrac{C_{N-2}^{m-2}}{C_N^m} = \dfrac{m(m-1)}{N(N-1)}$ . Отношение $\dfrac{P(m)}{P(4)} = \dfrac{m(m-1)}{12}$ — $N$ сократилось. Реши $m(m-1) = 12 \cdot 2{,}5$

Разобрать решение по шагам

Модель

Пусть в параллели $N$ учеников, а в конце месяца выделено $m > 4$ билетов. Случайное распределение $m$ билетов — это выбор $m$ человек из $N$ все $C_N^m$ наборов равновозможны.

Вероятность для Пети и Васи

Благоприятные наборы содержат обоих: остальные $m - 2$ билета достаются кому-то из $N - 2$ других учеников, таких наборов $C_{N-2}^{m-2}$ Значит,

P(m) = \frac{C_{N-2}^{m-2}}{C_N^m} = \frac{(N-2)!\,m!\,(N-m)!}{(m-2)!\,(N-m)!\,N!} = \frac{m(m-1)}{N(N-1)}.

В начале месяца $P(4) = \dfrac{4 \cdot 3}{N(N-1)} = \dfrac{12}{N(N-1)}$ .

Отношение не зависит от N

$\dfrac{P(m)}{P(4)} = \dfrac{m(m-1)}{12}$ . По условию это отношение равно $2{,}5$ $m(m-1) = 30$ откуда $m^2 - m - 30 = 0$ $m = 6$ (корень $m = -5$ отбрасываем).

Проверка

$P(6) = \dfrac{6 \cdot 5}{N(N-1)} = \dfrac{30}{N(N-1)}$ , $P(4) = \dfrac{12}{N(N-1)}$ , отношение $\dfrac{30}{12} = 2{,}5$ при любом $N \geqslant 6$

Проверка

Правила модели перебирают все наборы из $m$ учеников среди $N$ для $N = 7, 9, 12$ и $m = 4, 5, 6, 7$ и считают долю наборов с Петей и Васей: она совпадает с $\dfrac{m(m-1)}{N(N-1)}$ и с $\dfrac{C_{N-2}^{m-2}}{C_N^m}$ ; отношение $P(6)/P(4) = 2{,}5$ при $N = 8, 20, 100$ Для варианта $2$ ( $3{,}5$ раза) $m(m-1) = 42$ $m = 7$

Ответ

$6$ билетов.

Ответ

$6$ билетов.

Главная идея

P = m(m − 1)/(N(N − 1)); при делении N сокращается: m(m − 1) = 12·2,5 = 30, m = 6.

Вероятность «оба конкретных человека среди выбранных» — выбирай наборы, а не раздавай билеты по одному; неизвестное общее число сокращается в отношении.

Где легко ошибиться

Пытаться найти N; считать вероятность как (m/N)²; решить m(m − 1) = 30 как m = 5,5 или забыть условие m > 4.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 1, задача 4. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 2): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Вероятность →

Тема, знания и приёмы

Вероятность · Нужна школьная база

Классическое определение вероятности
Число сочетаний
Квадратное уравнение

Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов · Относительное движение

Задать вопрос по задаче →