Задача 8. Двадцать четыре гири

Выбираем достаточно тяжёлые наборы

Одного тяжёлого набора может оказаться мало: его иногда удаётся уравнять. Поэтому построим целое семейство тяжёлых наборов с разными суммами и затем посчитаем, сколько из них вообще можно уравнять. Общие гири в этих наборах помогут ограничить число вариантов.

Упорядочим веса строго: $w_1>w_2>\ldots>w_{50}>0$. Сначала возьмём 24 набора

Затем ещё шесть

Всего 30 наборов. Их суммы в указанном порядке строго убывают: внутри группы меняется один вес на меньший, а при переходе от $A_{47}$ к $B_{24}$ заменяется $w_{23}$ на меньший $w_{24}$.

Почему 24 оставшихся гирь не хватит

Для каждого выбранного набора сравним его веса по убыванию с 24 самыми тяжёлыми гирями из дополнения. В группе $A$ первые 23 выбранных тяжелее всех оставшихся, а последняя не легче $w_{47}$ и тяжелее 24-й оставшейся $w_{48}$. В группе $B$ первые 22 тяжелее всех оставшихся; 23-я выбранная $w_i$ при $i\le29$ тяжелее 23-й оставшейся $w_{46}$, а $w_{47}>w_{48}$ завершает сравнение. Значит, выбранный набор тяжелее любых 24 оставшихся. Тем более его не уравнять меньшим количеством положительных гирь.

Остались только 25 или 26 гирь

В дополнении 26 гирь. Обозначим общий вес всех 50 через $T$, вес выбранного набора — через $S$. Если взять все 26 оставшихся, для равенства нужно $T-S=S$, то есть $S=T/2$. Среди 30 строго различных сумм это возможно не больше одного раза.

Сколько вариантов для 25 гирь

Если взять 25 из 26 оставшихся, единственная пропущенная гиря веса $w$ должна удовлетворять $T-S-w=S$, откуда $w=T-2S$. При строгом убывании $S$ этот вес строго возрастает. Значит, разным выбранным наборам требуются разные пропущенные гири. Первые 22 гири входят во все выбранные наборы и не находятся в дополнении, поэтому пропущенной может быть лишь одна из остальных 28 гирь. Это даёт не больше 28 наборов, уравниваемых 25 гирями.

Получаем противоречие

Всего можно уравнять не больше $1+28=29$ из наших наборов: один с помощью 26 гирь и 28 с помощью 25. Но мы предъявили 30 наборов, каждый из которых по предположению должен уравниваться. Поэтому хотя бы один не уравнивается, и требуемой системы 50 различных весов не существует.