Эйлер 2026 · Математика · 8 кл., №5

Условие

На шахматной доске размера $30\times30$ стоит 220 не бьющих друг друга королей. Докажите, что в любом квадрате $9\times9$ стоит не менее 11 королей. Напомним, что король бьет клетки, соседние со своей по горизонтали, вертикали или диагонали.

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVIII олимпиада
Этап: Заключительный этап
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: 24–27 марта 2026

Попробуй расставить не бьющих друг друга королей на небольшой доске. Выбери в ней квадрат и посчитай королей внутри; запиши, что мешает оставить его почти пустым.

Здесь нужен обоснованный словесный ответ. Запиши свой вывод и доводы до открытия помощи.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Разбей доску на квадраты 2×2. Сколько королей может стоять в одном таком квадрате?

Подсказка 2

Сколько блоков 2×2 пусты на всей доске? Сколько целых блоков фиксированного разбиения обязательно содержится в любом квадрате 9×9?

Разобрать решение по шагам

Фиксируем одно разбиение

Разобьём 30 строк на 15 пар соседних строк и 30 столбцов на 15 пар. Получим $15\cdot15=225$ квадратов $2\times2$ Два короля в одном таком блоке обязательно били бы друг друга. Поэтому в каждом не больше одного короля.

Пустых блоков всего пять

Все 220 королей находятся в разных блоках. Значит,220 блоков заняты, а $225-220=5$ блоков пусты. Важно, что это число для всей доски, а не только для выбранного квадрата.

Учитываем любое положение 9×9

Среди любых девяти соседних строк есть четыре полные пары нашего разбиения. Если первая строка нечётная, это пары с первой по восьмую; если чётная — со второй по девятую. Аналогично в любых девяти соседних столбцах есть четыре полные пары. Их пересечения дают $4\cdot4=16$ целых блоков $2\times2$ внутри произвольного 9×9.

Если первая строка и первый столбец нечётные, четыре полные пары занимают первые восемь позиций.

При чётном начале полные пары занимают последние восемь позиций. По двум осям смещения могут различаться — число блоков остаётся 4×4.

Считаем гарантированных королей

Из этих 16 блоков пусты не больше пяти: других пустых блоков на всей доске нет. Поэтому не меньше $16-5=11$ блоков содержат короля. Все эти короли находятся внутри выбранного 9×9. Возможные дополнительные короли в его краевых полосках нам даже не нужны.

Проверка

Все 22 положения девяти соседних строк содержат четыре полные пары, независимо от сдвига. Поэтому внутри любого 9×9 есть 16 целых блоков, из которых пусты не больше пяти.

Ответ

В каждом квадрате 9×9 стоит не менее 11 королей.

Ответ

В каждом квадрате 9×9 стоит не менее 11 королей.

Главная идея

Почти полное заполнение маленьких блоков оставляет всего пять пустых; любой большой квадрат обязан содержать много целых блоков.

Когда объектов почти столько же, сколько блоков максимальной вместимости, удобнее считать немногие пустые блоки.

Где легко ошибиться

Разбить каждый 9×9 по-своему и забыть, что сведения о пяти пустых блоках относятся к одному фиксированному разбиению всей 30×30.

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVIII олимпиада, сезон 2025/26 · заключительный этап · второй день · 24–27 марта 2026 · математика · 8 класс. Официальная задача 5, 7 баллов.

Условия (PDF организатора, день 1) ↗ · Условия (PDF организатора, день 2) ↗ · Решения организатора, день 1 ↗ · Решения организатора, день 2 ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy.

Продолжить тему: Гарантии и принцип Дирихле →

Тема, знания и приёмы

Гарантии и принцип Дирихле · Начальный вход

Ходы короля
Разбиение доски на блоки
Подсчёт гарантированного количества

Приёмы решения: Принцип Дирихле или худший случай · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →