Математика · 8 класс · Олимпиада имени Эйлера 2025/26 · Заключительный этап

Задача 3. Сумма трёх дробей

Условие

Неотрицательные числа aa, bb и cc таковы, что a2+b2+c2=a+b+ca^2+b^2+c^2=a+b+c. Докажите, что

(a−1)2b+c+1+(b−1)2c+a+1+(c−1)2a+b+1≤31+a+b+c.\frac{(a-1)^2}{b+c+1}+\frac{(b-1)^2}{c+a+1}+\frac{(c-1)^2}{a+b+1}\le\frac{3}{1+a+b+c}.
О задаче · 8 класс
Олимпиада
Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVIII олимпиада
Этап
Заключительный этап
Предмет / класс
Математика · 8 класс
Дата
24–27 марта 2026

Проверь простые допустимые тройки, например(0,0,0) и(1,1,1). Затем найди, где в дробях можно использовать равенство из условия.

Здесь нужен обоснованный словесный ответ. Запиши свой вывод и доводы до открытия помощи.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сначала проверь, что каждая из трёх дробей не больше 1. Используй данное равенство при вычитании числителя из знаменателя.

Подсказка 2

Умножь обе части требуемого неравенства на 1+a+b+c1+a+b+c. В каждом слагаемом отдели часть, которая сокращается со знаменателем. Как использовать оценку из первой подсказки?

Разобрать решение по шагам
1

Знаменатели положительны

Положим S=a+b+cS=a+b+c, T=1+ST=1+S. Так как числа неотрицательны, все знаменатели T−a=1+b+cT-a=1+b+c и два аналогичных не меньше единицы. Можно безопасно умножать и делить на них.

2

Каждая отдельная дробь не больше 1

Вычтем числитель из первого знаменателя:

1+b+c−(a−1)2=S+a−a2=a+b2+c2≥0.1+b+c-(a-1)^2=S+a-a^2=a+b^2+c^2\ge0.

Здесь использовано S=a2+b2+c2S=a^2+b^2+c^2. Поэтому fa=(a−1)2/(T−a)≤1f_a=(a-1)^2/(T-a)\le1. Точно так же определяем fb,fcf_b,f_c и получаем fb,fc≤1f_b,f_c\le1.

3

Умножение на T раскрывает нужную сумму

Поскольку T=(T−a)+aT=(T-a)+a, имеем

Tfa=(a−1)2+afa.Tf_a=(a-1)^2+af_a.

Складывая три равенства, получаем

T(fa+fb+fc)=(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2+afa+bfb+cfc.T(f_a+f_b+f_c)=(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+af_a+bf_b+cf_c.

Первая тройка слагаемых равна

a2+b2+c2−2S+3=3−S.a^2+b^2+c^2-2S+3=3-S.
4

Используем неотрицательность весов

Из fa,fb,fc≤1f_a,f_b,f_c\le1 и a,b,c≥0a,b,c\ge0 следует afa+bfb+cfc≤a+b+c=Saf_a+bf_b+cf_c\le a+b+c=S. Поэтому

T(fa+fb+fc)≤(3−S)+S=3.T(f_a+f_b+f_c)\le(3-S)+S=3.

Делим на T=1+a+b+c>0T=1+a+b+c>0 и получаем ровно требуемое неравенство. При a=b=c=0a=b=c=0 обе стороны равны 3, так что граничный случай включён.

Проверка

Все знаменатели≥1. Разложение Tf_a=(a−1)²+af_a вместе с f_a≤1 даёт 3−S+S=3. В нулевой тройке достигается равенство.

Ответ

Неравенство верно для всех данных неотрицательных a,b,c; равенство достигается при a=b=c=0.

Ответ

Неравенство верно для всех данных неотрицательных a,b,c; равенство достигается при a=b=c=0.

Главная идея

Общий множитель 1+a+b+c отличается от знаменателя каждой дроби ровно на одну переменную — это позволяет разделить сумму на две простые части.

Если общий знаменатель отличается от каждого частного на одну переменную, попробуй умножить на него и разделить выражение на простые суммы.

Где легко ошибиться

Оценить каждую дробь единицей и получить лишь сумму≤3. Требуется более сильная правая часть 3/(1+a+b+c), поэтому нужен общий множитель.

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVIII олимпиада, сезон 2025/26 · заключительный этап · первый день · 24–27 марта 2026 · математика · 8 класс. Официальная задача 3, 7 баллов.

Условия (PDF организатора, день 1) ↗ · Условия (PDF организатора, день 2) ↗ · Решения организатора, день 1 ↗ · Решения организатора, день 2 ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy.

Продолжить тему: Неравенства и экстремумы →
Тема, знания и приёмы

Неравенства и экстремумы · Продвинутая подготовка

  • Положительные знаменатели
  • Раскрытие квадратов
  • Умножение неравенства на неотрицательное число

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок