Эйлер 2026 · Математика · 8 кл., №1

Условие

Назовем натуральное число $k$ -хорошим, если оно представимо в виде суммы $k$ последовательных натуральных чисел. Учитель попросил Васю придумать число $n$ и обещал поставить по пятерке за каждое $k$ большее 1 и меньшее 7, при котором $n$ окажется $k$ -хорошим. Какое наибольшее число пятерок мог получить Вася?

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVIII олимпиада
Этап: Заключительный этап
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: 24–27 марта 2026

Придумай своё число и попробуй записать его двумя, тремя, четырьмя, пятью и шестью последовательными слагаемыми. Не допускай ноль в начале.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПридумай число для сумм

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя гипотеза

Придумай число для сумм

Придумай своё n: модель проверит все пять возможных длин последовательной суммы.

Придумай своё число и попробуй записать его двумя, тремя, четырьмя, пятью и шестью последовательными слагаемыми. Не допускай ноль в начале. Проверь свой вариант на бумаге; полный разбор остаётся ниже.

Подсказка 1

Сравни чётность суммы двух и суммы четырёх последовательных натуральных чисел.

Подсказка 2

Нужно нечётное число, подходящее также для трёх, пяти и шести слагаемых. Попробуй нечётное кратное 15, достаточно большое для положительного начала каждой суммы.

Разобрать решение по шагам

Почему все пять наград недоступны

За $k=2,3,4,5,6$ можно получить пять наград. Но сумма двух соседних чисел имеет вид $x+(x+1)=2x+1$ и нечётна. В сумме четырёх последовательных чисел каждое слагаемое содержит $y$ поэтому получаем $4y$ Прибавки дают $0+1+2+3=6$ Итого $4y+6$ — чётное число. Одно число не может одновременно быть чётным и нечётным, поэтому наград не больше четырёх.

Ищем пример для остальных k

Выберем нечётное число, делящееся на $3$ и на $5$ Эти делимости естественны: сумма трёх последовательных чисел — утроенное среднее, сумма пяти — упятерённое среднее. Для шести слагаемых подходит нечётное кратное $3$ если оно достаточно велико. Проверим число $45$

Проверяем четыре представления

Получаем

45=22+23,

45=14+15+16,

45=7+8+9+10+11,

45=5+6+7+8+9+10.

Во всех суммах начало положительно, числа идут подряд, количества слагаемых равны $2,3,5,6$ Это четыре награды, то есть верхняя оценка достигнута.

Проверка

Число 45 даёт четыре положительные последовательные суммы. Представления с 2 и 4 слагаемыми одновременно невозможны из-за противоположной чётности.

Ответ

Максимум 4 пятёрки; например, за число 45.

Ответ

Максимум 4 пятёрки; например, за число 45.

Главная идея

Чётность запрещает одну пару представлений, а один удачный пример даёт все остальные.

Для максимума сначала ищи несовместимую пару требований, затем отдельный пример для всех остальных.

Где легко ошибиться

Найти число с четырьмя представлениями, но не доказать, что пяти быть не может. Вторая ошибка — разрешить нулевое первое слагаемое.

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVIII олимпиада, сезон 2025/26 · заключительный этап · первый день · 24–27 марта 2026 · математика · 8 класс. Официальная задача 1, 7 баллов.

Условия (PDF организатора, день 1) ↗ · Условия (PDF организатора, день 2) ↗ · Решения организатора, день 1 ↗ · Решения организатора, день 2 ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy.

Продолжить тему: Последовательности и суммы →

Тема, знания и приёмы

Последовательности и суммы · Начальный вход

Чётность суммы
Последовательные натуральные числа

Приёмы решения: Разбор случаев · Разделение пространства поиска

Задать вопрос по задаче →