Эйлер 2026 · Математика · 8 кл., №2

Условие

В классе учится больше 6, но меньше 60 учеников, и в нём организовано семь кружков. Каждый ученик класса посещает одинаковое количество кружков. Известно, что для любых двух кружков найдутся ровно три ученика, которые посещают их оба. Сколько учеников может быть в таком классе?

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVIII олимпиада
Этап: Заключительный этап
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: 24–27 марта 2026

Выбери число учеников и задай кружки нескольких из них. Сравни количество кружков у учеников и общих участников у разных пар кружков.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСобери свой класс

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя гипотеза

Собери свой класс

Создай свой класс и отметь кружки каждого ученика. Проверка считает общих участников всех 21 пар.

Выбери число учеников и задай кружки нескольких из них. Сравни количество кружков у учеников и общих участников у разных пар кружков. Проверь свой вариант на бумаге; полный разбор остаётся ниже.

Подсказка 1

Сколько всего пар можно выбрать из семи кружков? Сколько пар кружков даёт один ученик, посещающий r кружков?

Подсказка 2

Приравняй N·r(r−1)/2 и 3·21. После этого используй границы на число учеников, а не подбирай класс наугад.

Разобрать решение по шагам

Что именно будем считать

Пусть учеников $N$ а каждый посещает $r$ кружков. Посчитаем объекты вида «ученик и пара кружков, которые он посещает». Важно считать именно пары, потому что условие говорит про общих участников любых двух кружков.

Считаем двумя способами

Из семи кружков получается $7\cdot6/2=21$ пара: сначала выбираем упорядоченно, затем делим на два. У каждой пары три общих ученика, всего $63$ объекта. Один ученик из своих $r$ кружков даёт $r(r-1)/2$ пар. Значит,

N\frac{r(r-1)}2=63,\qquad Nr(r-1)=126.

Разбираем возможные r

Значения $r=0,1$ невозможны: общих участников пар не было бы. При $r=2$ получаем $N=63$ больше допустимого. При $r=3$ получаем $N=21$ При $r=4$ число $126/12$ нецелое. При $r\ge5$ имеем $N\le126/20<7$ а учеников должно быть больше шести. Остаётся только $21$

Проверяем пример без догадок

Можно организовать семь троек кружков: $123$ $145$ $167$ $246$ $257$ $347$ $356$ Каждую тройку посещают три своих ученика. Всего $7\cdot3=21$ ученик, каждый ходит в три кружка. В списке каждая из 21 пары кружков встречается ровно однажды, поэтому в классе у неё ровно три общих ученика. Это подтверждает совместность условий.

Проверка

Уравнение Nr(r−1)=126 даёт толькоN=21 в исходных границах. Семь троек, каждая повторённая для трёх учеников, покрывают каждую пару кружков ровно трижды.

Ответ

В классе 21 ученик.

Ответ

В классе 21 ученик.

Главная идея

Посчитай одним способом по ученикам, другим — по парам кружков; обе суммы считают одни и те же участия.

Если условие одновременно говорит об участниках и парах групп, посчитай один и тот же вид участия с обеих сторон.

Где легко ошибиться

Считать пары учеников вместо пар кружков или забыть деление на 2 при выборе неупорядоченной пары.

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVIII олимпиада, сезон 2025/26 · заключительный этап · первый день · 24–27 марта 2026 · математика · 8 класс. Официальная задача 2, 7 баллов.

Условия (PDF организатора, день 1) ↗ · Условия (PDF организатора, день 2) ↗ · Решения организатора, день 1 ↗ · Решения организатора, день 2 ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy.

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Продвинутая подготовка

Подсчёт неупорядоченных пар
Целочисленность
Двойной подсчёт

Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →