Задача 7. Квадрат простого числа

Сравниваем произведения скобок со знаменателем

Обозначим $X=ab+a+1$, $Y=bc+b+1$, $Z=ca+c+1$, $D=abc+1$. Любые две скобки имеют произведение больше $D$. Например, $XY>(ab+1)(bc+1)=ab^2c+ab+bc+1>abc+1$, поскольку $b\ge1$ и добавочные члены положительны. Для других пар рассуждение циклически такое же.

Две скобки обязательно делятся на p

Предположим $XYZ=p^2D$ для простого $p$. Если бы не больше одной скобки делилось на $p$, две другие были бы взаимно просты с $p^2$. Их произведение тогда делило бы $D$: простые множители из него нельзя сократить за счёт $p^2$. Но это произведение больше $D$, противоречие. Значит, хотя бы две скобки делятся на $p$.

Третья делится на тот же простой

При необходимости циклически назовём две кратные скобки $X,Y$. Прямым раскрытием проверяем

Поэтому и $Z$ делится на $p$. Числитель делится на $p^3$, а равенство $XYZ=p^2D$ требует $p\mid D$.

Остаётся только простой 2

Ещё одно проверяемое тождество:

Все три слагаемых слева делятся на $p$, значит $p$ делит 2 и $p=2$. Но $D=abc+1$ тогда чётно, то есть $abc$ нечётно. Все $a,b,c$ нечётны, и каждая скобка «нечётное + нечётное +1» нечётна. Это противоречит тому, что все три скобки делятся на 2. Предположение невозможно.