Задача 6. Равные диагонали

Добавляем отрезок нужной длины

На луче $DA$ за $A$ отметим точку $E$ с $DE=3$. Так как $DA=1$, имеем $AE=2$. В треугольниках $ACD$ и $BDE$ равны стороны $AC=BD$, $CD=DE$ и углы между ними $\angle ACD=\angle BDE=\angle ADB$. По первому признаку они равны. Отсюда $BE=AD=1$ и $\angle CDA=\angle BED$.

Используем угол 30°

Лучи $AD$ и $AE$ противоположны, поэтому $\angle BAE=180^\circ-150^\circ=30^\circ$. Опустим из $E$ перпендикуляр $EH$ на прямую $AB$. В прямоугольном $AEH$ катет против 30° равен половине гипотенузы: $EH=AE/2=1$.

Определяем положение B

Но $EB=1$ тоже, а $B$ лежит на прямой $AB$. Перпендикуляр — кратчайшее расстояние от точки до прямой; любой другой отрезок длиннее. Значит, $B=H$. Треугольник $ABE$ прямоугольный при $B$, поэтому $\angle BED=\angle BEA=60^\circ$. По равенству треугольников $\angle CDA=60^\circ$.

Ещё один равносторонний треугольник

Точки $D,A,E$ лежат на одном луче из $D$, поэтому $\angle CDE=\angle CDA=60^\circ$. В треугольнике $CDE$ стороны $CD=DE=3$, а угол между ними 60°, значит этот треугольник равносторонний и $CE=3$.

Находим нужный остаток

Углы $BED$ и $CED$ равны 60°. Из выпуклости $B$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно $AD$, значит лучи $EB$ и $EC$ совпадают. Поскольку $EB=1<EC=3$, точка $B$ лежит между $E$ и $C$. Следовательно,

Выпуклость здесь нужна, чтобы выбрать правильное положение луча, а не зеркальную конфигурацию.