Математика · 8 класс · Заключительный этап

Назовем натуральное число $k$-хорошим, если оно представимо в виде суммы $k$ последовательных натуральных чисел. Учитель попросил Васю придумать число $n$, и обещал поставить по пятерке за каждое $k$, большее 1 и меньшее 7, при котором $n$ окажется $k$-хорошим. Какое наибольшее число пятерок мог получить Вася?

В классе учится больше 6, но меньше 60 учеников, и в нём организовано семь кружков. Каждый ученик класса посещает одинаковое количество кружков. Известно, что для любых двух кружков найдутся ровно три ученика, которые посещают их оба. Сколько учеников может быть в таком классе?

Неотрицательные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $a^2+b^2+c^2=a+b+c$. Докажите, что

Дана замкнутая тысячезвенная ломаная, в которой длины всех звеньев равны, никакие два конца несоседних звеньев не совпадают и никакой конец одного из звеньев не лежит внутри другого звена. При каком наибольшем $k$ может случиться, что каждое звено пересекает хотя бы $k$ из оставшихся звеньев под прямым углом?

На шахматной доске размера $30\times30$ стоит 220 не бьющих друг друга королей. Докажите, что в любом квадрате $9\times9$ стоит не менее 11 королей. Напомним, что король бьет клетки, соседние со своей по горизонтали, вертикали или диагонали.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали равны, $\angle ADB=\angle ACD$, $CD=3$, $AD=1$ и $\angle BAD=150^\circ$. Найдите $BC$.

Натуральные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что число $(ab+a+1)(bc+b+1)(ca+c+1)$ делится на $abc+1$. Может ли их частное быть квадратом простого числа?

На столе стоит 50 гирь попарно различных положительных весов. Может ли случиться, что для любых 24 из этих гирь среди оставшихся гирь можно выбрать несколько такого же суммарного веса?